Какво трябва да се доказва в едно решение

[Румен Симеонов]

Дадена е правилна триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основен ръб [tex]AB=3[/tex] и околен ръб [tex]AD=4[/tex]. Сфера минава през върха [tex]A[/tex] и се допира в средите на ръбовете [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex] съответно до правите на тези ръбове. Докажете, че центърът на сферата се намира вътре в пирамидата.

Продължение оттук, където са и първите коментари:

viewtopic.php?f=49&t=31274#p121174

[ammornil]

Защо публикувате отново вече публикувана и активна тема?

[Румен Симеонов]

Въпреки сериозното количество коментари и анализи (виж линка), задачата все още не е решена от никого. Побързайте да се изявите като пръв/първа я решите и то в рамките на сегашната седмица, по възможност. Първоначален план за решение също се приема и коментира по спешност от всички, без да е задължително непременно да е придружен от проведени докрай изчисления. Та нали това е форум на съмишленици, а не е състезание на живот и на смърт! Уважавайте опитите на другите, дори когато съдържат някои грешки или недостатъци, които трябва да укажете на авторите им. Приемайте спокойно указаните Ви грешки или недостатъци на Ваши разсъждения, изчисления, доказателства и или ги потвърдете с благодарност или се защитете с аргументи. Тук се състезаваме (кой ще даде по-кратко, по-пълно, по-лесно, решение, но и кой ще измисли и предложи по-красива или по поучителна задача) , макар, че предимно тук е място за падготовка на състезатели (в най-широк смисъл на думата). Но тук всички сме приятели! Не възприемайте презизността, дори и в крайните и степени, като заяждане! Това е математика! А математиците (и информатиците) са най-прецизните и най-отговорните хора - с най-високи изисквания към самите себе си. Не се притеснявайте сами да изтъквате предимствата на своите задачи или решения, но и бъъдете готови да чуето и коментирате и насрещни коментари и възражения! Бъдете активни в дискусиите, дори и да не разполакате с пълно и окончателно решение, а с някоя многго добра идея. Очаквайте помощ и помагайте на другите да реализират идеите си!

[Румен Симеонов]

Защо публикувате отново вече публикувана и активна тема?

Отговарям. Защото междувременно се появи един чисто нов съфорумец, да ни е жив и здрав и много активен,, който набързо качи нещо като нищо, което дори нямаше формата на задача, но изглежда беше зов за помощ някой да му реши много лесна задача за домашно за числено заместване във формули за обем и повърхнина на конуси и на пресечен конус.. При което не знаех каква е най-правилната стратегия да възвърна задачата на седмицата, докато не бях сигурен, че администраторите ще отменят нередовното публикуване, както навремето отмениха моето, когато аз бях новобранец, а и не бях сигурен дали след отмяната системата ще възвърне предишната задача или ще чака новопостъпила задча.. Знаех само, че системата допуска ново публикуване на нова (или еквивалентна) задача, при което новото, след няколко часа техническо забавяне, измества старата публикация от ,,пиадестала" ,,Задача на седмицата, въпреки че я оставя в списъка под заглавие ,,Задача на седмицата"..

[grav]

[quote="Румен Симеонов"][/quote]
Няма никакъв проблем такива дискусии да се водият в подфорум геометрия.

[Румен Симеонов]

Няма никакъв проблем такива дискусии да се водият в подфорум геометрия.

Кои дискусии? По отношение на технологията за задаване на задача на седмицата - именно под някоя задача на седмицата е подходящото мяста. По отношение заглавието на задачата - ако искате не правете връзка с предишната задача на седмицата - Ваше право, но задачата си е самостоятелна задача подходяща за задача на седмицата, независимо от нейното заглавие, а е и актуална именно във връзка с ,,решението" на S.B. на предишната задача на седмицата, която връзка прави заглавието. Вие можете ли да я решите? Питам, защото и Вашето мнение не е по темата на задачата, ако трябва да сме съвсем пунктуални, т.е. - не е за тук. Това, че може и другаде не означава, че не са идеални за тук (дискусиите). Не мога да разбера имате ли някакво възражение и какво Ви боли. Другият път може и да Ви попитаме за разрешение дали може да водим следващата дискусия тук, но не е сигурно, че ще Ви попитаме и не е сигурно, че ще се съобразим с отговора Ви, ако въобще отговорите в срок.

[Румен Симеонов]

Следва едно добро и поучително и не много трудно решение. Съгласно една теория на относителността, всичко е относително, така че, то би могло, в зависимаст от гледната точка, дори и да се нарече и признае и за много лесно решенние.

Тук:

viewtopic.php?f=49&t=31238&start=25#p121173

доказах, че:

$\vec{AO}=x\vec{AD}+y\vec{AM}$,

където $0<x, 0<y, 0<x+y<1$, а $M$ е средата на $BC$.

Нека $S$ е вторият край на вектора $\vec{AS}:=(1/(x+y))\vec{AO}$. Точката $S$ е вътрешна за отсечката $MD$, защото $\vec{MS}=(x/(x+y))\vec{MD}, 0<x/(x+y)<1$. Понеже $\vec{AO}:=(x+y)\vec{AS}, 0<x+y<1$, следва, че точката $O$ е вътрешна за отсечката $AS$, на която само единият край, $S$, е на правата $MD$, само единият край, $A$, е на правата $DA$, само единият край, $A$, е на правата $AM$. Следва, че $О$ е от една и съща страна с $А$ спрямо правата $MD$, $О$ е от една и съща страна с $S$, а от там и с $M$, спрямо правата $DA$ (понеже отсечката $SM$ не пресича тази права),, $O$ е от една и съща страна с $S$, а от там и с $D$, спрямо правата $AM$ (понеже отсечката $SD$ не пресича тази права). Следва, че точката $O$ е вътре в триъгълника $AMD$, за чиято вътрешност, вкл. за т. $O$, с очевидни подобни разсъждения веднага следва, че се намира вътре в пирамидата $ABCD$.
А именно и по-конкретно, например, за точката $O$, която единствено ни интересува. Точката $O$ се намира от една и съща страна с точката $A$ спрямо равнината $BCD$, защото е вътрешна за отсечката $AS$, която има само един край, $S$, лежащ в тази равнина, точката $O$ се намира от една и съща страна с точката $S$, а от там и с $B$, спрямо равнината $CDA$, защото е вътрешна за отсечката $AS$, която има само един край, $A$, лежащ в тази равнина, точката $O$ се намира от една и съща страна с точката $S$, а от там и с $C$, спрямо равнината $DAB$, защото е вътрешна за отсечката $AS$, която има само един край, $A$, лежащ в тази равнина, точката $O$ се намира от една и съща страна с точката $S$, а от там и с $D$, спрямо равнината $ABC$, защото е вътрешна за отсечката $AS$, която има само един край, $A$, лежащ в тази равнина,

[Tilko]

Сферата е канонично описана, с център в точка О и радиус r.
Тъй като сферата се допира до ръбовете BD и CD на триъгълната пирамида ABCD, тогава тези ръбове ще бъдат евклидова нормала на радиусите, проведени до точките на допир на сферата. Това означава, че векторите AB, AD, BD и CD ще лежат в равнината, дефинирана от векторите ОB, ОD и вектора нормала към тази равнина (срещуположният вектор на ОА).
Оттук можем да заключим, че центърът на сферата О е в същото пространство, където се намира върхът A на триъгълната пирамида ABCD. Тъй като радиусът на сферата не може да е по-голям от дължината на околния ръб AD на пирамидата, то центърът О на сферата е вътрешна точка на триъгълната пирамида. Освен това, като вземем предвид, че радиусът на сферата е не по-голям от дължината на някои от ръбовете на триъгълната пирамида, можем да заключим, че О е близо до ръба AD, както е посочено в условието.
Така доказахме, че центърът на сферата лежи вътре в триъгълната пирамида ABCD и е доста близо до ръба AD.
============================ ========================= ======================= ==============================

За да докажем, че центърът на сферата се намира вътре в пирамидата ABCD, трябва да докажем, че средите на ръбовете BD и CD са различни точки и че центърът на сферата лежи в равнината, определена от тези точки.
Първо, нека означим средите на ръбовете BD и CD съответно с M и N. Тъй като ръб AB е равен на 3 и ръб AD е равен на 4, тогава от теоремата на Питагор можем да намерим дължината на ръб BD: BD=[tex]\sqrt{( AB^{2 }+ BD^{2 }) }[/tex] = 5
Тъй като ръб BD е равен на 5, а ръб CD е равен на 4, това означава, че средите M и N на тези ръбове са различни точки. Така че средата на ръб BD, което е средата на отсечката BD, ще бъде различно от средището на ръб CD, което е средата на отсечката CD.
Нека означим центъра на сферата с O. За да докажем, че O се намира вътре в пирамидата, трябва да покажем, че O лежи в равнината, определена от точките M, N и A.
Тъй като сферата се допира до ръбовете BD и CD до правите на тези ръбове, от свойствата на сферата знаем, че всяка права, проведена от центъра на сферата до точка на допира, е перпендикулярна към радиуса към тази точка на допира. Това означава, че OM и ON са перпендикулярни на BD и CD съответно.
Тъй като OM и ON са перпендикулярни на ръбовете BD и CD и средите M и N на тези ръбове са различни точки, следва, че OM и ON са различни прави. Това означава, че точките M, N и O не са колинеарни и задават равнина. Освен това, тъй като A се намира на ръба AD и сферата се допира до правата, определена от точките M и N, следва, че A също лежи в тази равнина.
Така получаваме, че точките M, N и A определят една и съща равнина. Центърът на сферата O е точка в тази равнина, тъй като OM и ON са перпендикулярни на ръбовете BD и CD съответно. Следователно, центърът O на сферата лежи в равнината, определена от точките M, N и A.
Тъй като центърът O лежи в равнината, определена от точките M, N и A, и точките M и N са различни, следва, че O не може да се намира на отсечката MN. Това означава, че центърът O се намира вътре в пирамидата ABCD, тъй като лежи в равнината, определена от точките M, N и A, и не лежи на отсечката MN.
Така доказахме, че центърът на сферата се намира вътре в правилната триъгълна пирамида ABCD.

[ptj]

Повече от 20 реда глупости и почти нулеви знания...