От сп."Математика +"

[Marshal]

Да се намери най-малкото естествено число, което се дели на 2009 и има сбор от цифрите 2009.

[martin123456]

Нека търсеното число е [tex]A=\overline{a_0\ldots a_n}=a_0.10^n+\cdots + a_n[/tex]. Тъй като [tex]a_i \le 9\Rightarrow 2009=\sum_{i=0}^{n}a_i \le 9(n+1)[/tex][tex]\Rightarrow n+1 \ge 223.2 \Rightarrow n+1 \ge 224 \Rightarrow n \ge 223[/tex]. Разбира се искаме числото да е с най-малко цифри. Затова попадаме в случая да търсим число, което устройва условието и [tex]n=223[/tex].
Най-малко ще е ако 1вата му цифра е 1. Тогава [tex]2009=1+\sum_{i=1}^{n}a_i \le 1+9n=1+9.223=2008 \Rightarrow \empty[/tex]. От последното имаме, че цифрата 1 не може да участва в записа на числото. Като следствие и 0 не може да участва.
Нека сега първата цифра е 2. Тогава [tex]2009=2+\sum_{i=1}^{n}a_i \le 2009[/tex]. Това означава че можем да имаме максимално една цифра 2ка. Искаме тя да е на 1во място, тогава числото е [tex]2\underbrace{ {\rm 9} \ldots {\rm 9} }_{\rm 223}[/tex]. Това число е [tex]2.10^{223}+10^{223}-1[/tex]. Тъй като [tex](a,7) =1 \Rightarrow a^6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow A \equiv 10+10-1 \not \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow \empty[/tex].
Следващият случай е първата цифра да е 3. Имаме [tex]2009 = 3+\sum_{i=1}^{n}a_i \le 3+223.9=2010[/tex]. Значи отпред можем да имаме 3ка, а другите цифри без 1 са 9ки и има една 8ца. Най ни устройва [tex]A=38\underbrace{ {\rm 9} \ldots {\rm 9} }_{\rm 222}=3.10^{224}+8.10^{223}+10^{222}-1 \equiv 3.9+80+1-1 \equiv 107 \not \equiv 0 \pmod{7}[/tex][tex]\equiv 27+27+8+3^{221}-1 \equiv 6+3^{5}- 1\equiv 6+5-1 \not \equiv 0 \pmod{7}[/tex]
Значи 8цата не на 2ро място. Следващият случай е [tex]A=398\underbrace{ {\rm 9} \ldots {\rm 9} }_{\rm 221}=3.10^{224}+9.10^{223}+8.10^{222}+10^{221}-1[/tex]. И този сл проверих и той не е ок.
и тн и тн

[1089]

4isloto moje da se predstavi kato 39999999...999 - 10^n. razglejda6 ostatcite po 7,41,49 i se polu4ava protivire4ie. sledva6tiq slu4ai e 4 otpred. togava ima 2 varinata da u4astvat devetki i 1 sedmica, ili devetki i 2 osmici. parviq slu4ai ne stava. pri vtoriq predstavq6 A=4999999...9 - 10^m-10^n i v tozi slu4ai ako ne se laja se polu4ava re6enieto...

[mathinvalidnik]

значи не съм задълабвал,но вижте дали 287 седмици вършат работата.

п.п По принцип знаковият запис е дълъг,но минимумът мисля ,че е 287 знака,които удовлетворяват условията

[1089]

tova 4islo sas sig ne se deli na 49, za6toto sled delenie na 7 se polu4avat 287 edinici, a 4islo ot edinici se deli na 7 samo kogato broq na edinicite e kraten na 6. 6te se postaraq da pusna i palno re6enie skoro

[1089]

palno re6enie parva 4ast: minimalnoto 4islo e sminimalen broi cifri. kakto martin kaza tozi minimalen broi e 224.
1 slu4ai) po4va s 1. togava sbora na 223 cifri e 2008 ne moje
2 slu4ai) po4va s 2. 4isloto e ednozna4no opredeleno 2999...9=3000..0-1=3.10^223-1. razglejdame ostatacite na stepenite na 10 po modul 41. 10^1=10(41), 10^2=18, 10^3=16, 10^4=37, 10^5=1. zna4i 10^5k=1(41). togava 3.10^223-1=3.10^220.10^3-1=3.10^3-1=3.16-1=47=6(41). zna4i tova 4islo ne izpalnqva uslovieto
3 slu4ai) parvata cifra e 3. ima 1 osmica i 222 devetki. togava 39999...98999...9=40000..0-10^m-1(tuk m e broq na cifrite sled 8)=4.10^223-10^m-1=4.16-10^m-1=22-10^m(41). za da se deli tova 4islo na 41, to 10^m trqbva da dava ostatak 22 po mod 41, koeto e nevazmojno. sledva prodaljenie...

[1089]

vtora 4ast.
4 slu4ai)po4va s 4. ima 2 varianta- 1 sedmica i 222 devetki ili 2 osmici i 221 devetki
slu4ai 4a) A=499...979999...9=5.10^223-1-2.10^m=79-2.10^m(41), t.e 2.10^m=79(mod 41) i pak ne moje
slu4ai 4b) A=499..989..989...99=5.10^223-10^x-10^y-1=79-10^x-10^y(41), t.e 10^x+10^y=38(41), koeto se osa6testvqva pri 10^x=1(41)i 10^y=37(41), t.e ednoto e ot vida 5k, a drugoto ot vida 5t-1.
tova osigurqva delimost na 41. sega gledame ostacite na stepenite na 10 po mod 49. 10^1=10, 10^2=100=2, 10^3=20, 10^4=4, 10^5=40, 10^6=8, 10^7=31, 10^8=16, 10^9=13, 10^10=32, 10^11=26, 10^12=15, 10^13=3, 10^14=30, 10^15=6, 10^16=11, 10^17=12, 10^18=22, 10^19=24, 10^20=44, 10^21=48=-1. =>10^42=(10^22)^2=1(49). =>A=5.10^223-10^x-10^y-1=5.10^13-1-10^x-10^y=14-10^x-10^y=> trqqbva da izberem maksimalno x ot vida 5k ili 5t-1, takova 4e moje da se nameri y ot drugiq vid i 10^x+10^y=14 (49). tai kato x,y predstavlqvat broqt cifri koito sa sled vsqka ot dvete osmici, to x,y<223.
1)x=220.togava 10^x=32(49) i 10^y=31=-18(49). tai kato 10^(21+c)=10^21.10^c=-10^c, to ostatak -18 e vazmojen samo kogato za nqkoe 4islo ot 1 do 21 e vqrno 10^c=18(49), no takiva nqma, t.e y e ot vida 42b+7. takiva 4isla sa 7, 49, 91,133,175,217... ot tqh tarsim nai-golqmoto ot vida 5k-1. tova e 49.sledovatelno broqt na cifrite sled parvata osmica e 220, a sled vtorata 49. togava tarsenoto 4islo e 4998999....9999(170 devetki)899...9 (49 devetki). nadqvam se 4e ima pone 1 4ovek, koito da go raz4ete... , a ve4e dali na nakoi sam pomognal e drug vapros ...

[1089]

taka li e?

[Marshal]

taka li e?

Не знам, защото решението още не е излязло. Сега го проумявам но мисля, че отговора е този.
А и само да отбележа, че задачата е за 7 клас.

[1089]

az sega sam osmi klas, taka 4e kogato go izmislih, bqh sedmi...