Трапец - вписан и описан

[S.B.]

Трапецът $ABCD$ е описан около окръжност с радиус $R$ и вписан в окръжност с радиус [tex]R \sqrt{30}[/tex].Ако острият ъгъл на трапеца е [tex]\alpha[/tex],да се докаже,че [tex]\cos 2 \alpha = 0,6[/tex]

[Евва]

Много приятна задача .
Как ще се справят кандидат -студентите с нея ?

[nikola.topalov]

За удобство ще работя с [tex]R=1[/tex]. Нека трапецът е [tex]ABCD[/tex] и [tex]DH[/tex] е негова височина. Да си означим [tex]AB=a[/tex], [tex]DC=b[/tex], [tex]AC=d[/tex] и [tex]\measuredangle ABC=\varphi<90^\circ[/tex]. Трапецът е равнобедрен, понеже около него може да се опише окръжност. Ясно е тогава, че [tex]AH=\dfrac{a+b}{2}[/tex] и отделно [tex]CH=2R=2[/tex], т.е. [tex]d=\dfrac{1}{2}\sqrt{16+(a+b)^2}[/tex]. По-нататък, [tex]\dfrac{d}{\sin\varphi}=2\sqrt{30}[/tex], откъдето по синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] получаваме [tex]d=2\sqrt{30}\sin\varphi=\dfrac{8\sqrt{30}}{a+b}[/tex]. И така получаваме уравнението $$\dfrac{1}{2}\sqrt{16+(a+b)^2}=\dfrac{8\sqrt{30}}{a+b}$$ откъдето [tex](a+b)^2=80[/tex]. Нека [tex]C'[/tex] е ортогонално симетричната точка на [tex]C[/tex] спрямо правата [tex]AB[/tex].

2023-07-02 (10).png (33.32 KiB) Прегледано 1450 пъти

Тогава [tex]CC'=4[/tex] и [tex]\measuredangle C'BC=2\varphi[/tex]. От косинусовата теорема за [tex]\triangle C'BC[/tex] намираме $$16=\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{(a+b)^2}{4}-\dfrac{(a+b)^2}{2}\cos 2\varphi\Rightarrow 16=40-40\cos 2\varphi\Rightarrow \cos 2\varphi=\dfrac{3}{5}$$

[S.B.]

Трапецът $ABCD$ е описан около окръжност с радиус $R$ и вписан в окръжност с радиус [tex]R \sqrt{30}[/tex].Ако острият ъгъл на трапеца е [tex]\alpha[/tex],да се докаже,че [tex]\cos 2 \alpha = 0,6[/tex]

Без заглавие - 2023-07-02T081833.096.png (241.59 KiB) Прегледано 1428 пъти

Ето и моето решение:

[tex]DD_{1 } \bot AB , CC_{1 } \bot AB,D D_{1 } = C C_{1 } = 2R[/tex]

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BD}{\sin \alpha } = 2R \sqrt{30}[/tex]
$$\Rightarrow BD = 2R \sqrt{30}\sin \alpha $$

От [tex]\triangle A DD_{1 }:[/tex]

[tex]\frac{D D_{1 } }{AD} = \sin \alpha \Leftrightarrow AD = \frac{D D_{1 } }{\sin \alpha }[/tex]
$$\Rightarrow AD = \frac{2R}{\sin \alpha } $$
[tex]\frac{A D_{1 } }{ DD_{1 } } = \cotg \alpha \Leftrightarrow \frac{ AD_{1 } }{2R} = \cotg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow AD_{1 }= BC_{1 } = 2R\cotg \alpha $$
Нека [tex]CD = C_{1 } D_{1 } = x[/tex]
[tex]AB = C_{1 } D_{1 } + 2A D_{1 } \Leftrightarrow AB = x + 4R\cotg \alpha[/tex]

$ABCD$ е описан около окръжност [tex]\Rightarrow AB + CD = AD + BC \Leftrightarrow[/tex]
[tex]x + 4R\cotg \alpha + x = \frac{4R}{\sin \alpha } \Leftrightarrow 2x= \frac{4R}{\sin \alpha } - \frac{4R\cos \alpha }{\sin \alpha } \Rightarrow x = \frac{2R}{\sin \alpha }(1 - \cos \alpha)[/tex]
[tex]BD_{1 } = x + BC_{1 } \Leftrightarrow BD_{1 } = \frac{2R}{\sin \alpha }(1 - \cos \alpha ) + 2R \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \Leftrightarrow BD_{1 } = \frac{2R}{\sin \alpha } (1 - \cos \alpha + \cos \alpha)[/tex]
$$\Rightarrow BD_{1 } = \frac{2R}{\sin \alpha } $$
За [tex]\triangle D_{1 }BD[/tex] прилагам Питагорова теорема:

[tex]BD^{2 } = D D_{1 } ^{2 } + B D_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow 120 R^{2 } \sin^{2 } \alpha = 4R^{2 } + \frac{4 R^{2 } }{ \sin^{2 } \alpha } \Leftrightarrow 30 \sin^{2 } \alpha = 1 + \frac{1}{ \sin^{2 } \alpha }[/tex]

Нека [tex]\sin^{2 } \alpha = t , t \in (0;1)[/tex]

[tex]30t - 1 - \frac{1}{t} = 0 \Leftrightarrow 30 t^{2 } - t - 1 = 0 , D = 121 , t_{1,2 } = \frac{1 \pm 11}{60} , t_{1 } = \frac{12}{60} , t_{2 } = - \frac{10}{60}<0[/tex]
[tex]\Rightarrow t = \frac{12}{60}= \frac{1}{5}[/tex]
$$\Rightarrow \sin^{2 } \alpha = \frac{1}{5} $$
[tex]\sin^{2 } \alpha = \frac{1 - \cos2 \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = 1 - \cos2 \alpha \Leftrightarrow \cos 2 \alpha = 1 - \frac{2}{5} \Leftrightarrow \cos 2 \alpha = \frac{3}{5}[/tex]
$$\Rightarrow \cos 2\alpha = 0,6 $$

[Евва]

Нека АВ=а , ВС= b и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] .Височината на трапеца CH=2R .
ABCD -вписан трапец[tex]\Rightarrow[/tex] BC=AD=b ; ABCD -описан четириъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] AB+CD=AD+BC ; a+CD=b+b
CD=2b-a (1)
[tex]\triangle[/tex]НВС -правоъгълен [tex]ВН^{2 } + СН^{2 }= ВС^{2 }[/tex] ;[tex](a-b)^{2 }[/tex]+4[tex]R^{2 }[/tex]=[tex]b^{2 }[/tex] ; 2ab-[tex]a^{2 }[/tex]=4[tex]R^{2 }[/tex] (2)
( теорема на Птоломей ) AC.BD=AB.CD+BC.AD ; [tex]AC^{2 }[/tex]=a(2b-a)+b.b ;[tex]AC^{2 }[/tex]=2ab-[tex]a^{2 } + b^{2 }[/tex] (3)
[tex]\frac{AC}{2 \sqrt{30} R}[/tex] =sin([tex]\angle[/tex]ABC) =[tex]\frac{CH}{BC}[/tex] ; [tex]AC^{2 }. b^{2 }[/tex]=[tex](2R)^{2 }[/tex]4.30[tex]R^{2 }[/tex] [ ползваме (3) ]
(2ab-[tex]a^{2 }+ b^{2 }[/tex])[tex]b^{2 }[/tex]=480[tex]R^{4 }[/tex] [ ползваме (2) ]

[tex]b^{2 }[/tex].4[tex]R^{2 }[/tex]+[tex]b^{4 }[/tex]-480[tex]R^{4 }[/tex]=0 ; [tex]b^{4 }[/tex]+4[tex]R^{2 }[/tex][tex]b^{2 }[/tex]-480[tex]R^{4 }[/tex]=0

Единственият положителен корен е b=2[tex]\sqrt{5}[/tex]R (4)
( [tex]\triangle[/tex]НВС - правоъгълен ) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{CH}{BC}[/tex]=[tex]\frac{2R}{b} = \frac{2R}{2 \sqrt{5}R } = \frac{1}{ \sqrt{5} }[/tex]

cos2[tex]\alpha[/tex]=1-2[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]= 1-2.[tex]\frac{1}{5}[/tex]= [tex]\frac{3}{5}[/tex] = 0,6