Лице на трапец

[S.B.]

Да се определи лицето на трапец , на който основите са $a$ и $b$ , като $a>b$ ,ъгълът между бедрата е [tex]\varphi[/tex],а ъгълът между диагоналите е [tex]\frac{ \pi }{2}[/tex].

[Румен Симеонов]

Да се определи лицето на трапец , на който основите са $a$ и $b$ , като $a>b$ ,ъгълът между бедрата е [tex]\varphi[/tex],а ъгълът между диагоналите е [tex]\frac{ \pi }{2}[/tex].

Нека $S$ е пресечната точка на правите на ,,бедрата" на трапеца, които бедра нека да са $A_1A_2$, $A_1$ - между $S$ и $A_2$, и $B_2B_1$, $B_1$ - между $S$ и $B_2$, трапеца да е $A_1A_2B_2B_1$, като $B_1A_1||A_2B_2$, $b=|B_1A_1|$, $a=|A_2B_2|$ и нека $k=a/b$, $\vec{p}=\vec{SA_1}$, $\vec{q}=\vec{SB_1}$, $p:=|SA_1|$, $q:=|SB_1|$.
Тогава, очевидно,
$S_{A_1A_2B_2B_1}=S_{SA_2B_2}-S_{SA_1B_1}=(k^2-1).p.q.sin(\varphi)/2$.
Перпендикулярността на диагоналите, изразена чез анулиране на скаларно произведение на вектори дава:
$0=\vec{A_1B_2}.\vec{B_1A_2}=(k\vec{q}-\vec{p}).(k\vec{p}-\vec{q})=(k^2+1).p.q.cos(\varphi)-k(p^2+q^2)=(k^2+1).p.q.cos(\varphi)-k(b^2+2.p.q.cos(\varphi))=(k-1)^2.p.q.cos(\varphi)-k.b^2$,
откъдето следва, че:
$S_{A_1A_2B_2B_1}=(k^2-1).sin(\varphi)/2.k.b^2/(k-1)^2/cos(\varphi)=a.b.(a+b)/2/(a-b).tg(\varphi)$.

[S.B.]

Благодаря на колегата Румен Симеонов за вниманието към публикуваната от мен задача!Решението е интересно,но не е достъпно за учениците от 9 - 11 клас, към които е адресирана задачата,тъй като материала,който използвате, не е застъпен в българските общообразователни училища.Може би евентуално е частично застъпен само в матеметическите паралелки и гимназии.Аз разбирам Вашето решение,но целта е да бъде разбрано от учениците.Още веднъж Ви благодаря!

[Румен Симеонов]

Благодаря на колегата Румен Симеонов за вниманието към публикуваната от мен задача!Решението е интересно,но не е достъпно за учениците от 9 - 11 клас, към които е адресирана задачата,тъй като материала,който използвате, не е застъпен в българските общообразователни училища. Може би евентуално е частично застъпен само в матеметическите паралелки и гимназии.Аз разбирам Вашето решение,но целта е да бъде разбрано от учениците.Още веднъж Ви благодаря!

Да отложим въпроса дали на кандидат-студентски изпит може се ползват вектори и в частност - изразяване на перпендикулярност чрез анулиране на скаларно произведение. За по-сигурно ,,разбиране" от учениците, предлагам още една възможност за извод на изведеното и използваното по-горе равенство:

(0) $pq=k.b^2/(k-1)^2/cos(\varphi)$.
А именно, прилагаме косинусовата теорема за $A_2B_1$ в триъгълника $A_2B_1S$ със страни $|A_2B_1|, q, kp$ и за $A_1B_2$ в триъгълника $A_1B_2S$ със страни $|A_1B_2|, kq, p$, прилагаме я и за $A_1B_1$ в триъгълника $A_1B_1S$ със страни $b, q, p$. Умножаваме третото равенство с $(1+k^2)$ и го изваждаме от сумата на предишните 2 равенства. Отчитайки и, че $k=a/b$ получаваме:
(1) $|A_2B_1|^2+|A_1B_2|^2=a^2+b^2+2.(k-1)^2.cos(\varphi).p.q$.
Пренасяме $A_1B_2$ успоредно на себе си отложена от точката $B_1$, при което $B_2$ отива в точка $T$ от $A_2$ към и след $B_2$, така, че триъгълника $A_2TB_1$ е с прав ъгъл при върха $B_1$ и $|A_1B_2|=|B_1T|$ Прилагаме теоремата на Питагор за този триътълник:
(2) $|A_2B_1|^2+|A_1B_2|^2=(a+b)^2$.
От (1) и (2) следва желаното (0), макар и с заместено в него $k.b^2$ с $a.b$.
Завършваме решението както преди.

Впрочем, стана ясно, че едно просто анулиране на скаларно произведение заменя 3-кратно прилагане на косинусова теорема плюс еднократно прилагане на питагорова теорема. Заменя също евентуални ,,хитри" геометрични разсъждения с допълнителни построения, за които няма как да научим ученика да се досеща. Иначе казано - формулите със скаларно произведение сами отчитат геометрични положения и измерения (едновременно) и ни спестяват умствени усилия за отгатване и налучкване.

Считам, че
1. никой не може да забрани на учиник от математическа гимназия на своя кандидат-студентски изпит да използва вектори и техни скаларни произведения, така както ги е изучавал.
2. Поради 1. и поради изискванито за равнопоставеност на учениците на техния кандидат-студентски изпит, считам, че и на друг ученик - който не е учил в математическа гимназия, никой не може да забрани да използва вектори и техни скаларни произведения, така както се изучават от ученици в математическите гимназии.

Съответно, няма проблем, мисля, такива добри корепетитори като колегата S.B. да подготвят кандидат-студенти, като ги обучават на вектори и скаларни произведения и как да ги използват за решаване на задачи, която дейност е много лесна и бърза и ще се възприема много добре от учениците. А и ще въоръжим нашите ученици с едно много силно оръжие, които им дава предимство в състезанието.

Четох някакви материали на министерството, изготвени от великолепния (и мой) тренер и педагог, включително в областта на средното образовании Иван Тонов. От тях останах с впечатлението, че вектори (вкл и до дистрибутивен закон за скаларно произведение) се изучават от всички, а не само от учениците в математически гимназии. Ако междувременно са настъпили някакви катаклизми в министерството - не знам какво да кажа за нашето образование и министерства!

[nikola.topalov]

Нека трапецът е [tex]ABCD[/tex], като [tex]AB=a[/tex] и [tex]CD=b[/tex]. Нека [tex]M[/tex], [tex]G[/tex], [tex]N[/tex], [tex]F[/tex] са средите съответно на [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CD[/tex] и [tex]DA[/tex]. Тогава по теоремата на Вариньон [tex]S_{ABCD}=2S_{MGNF}[/tex]. Заради правия ъгъл, който диагоналите сключват помежду си, получаваме, че [tex]MGNF[/tex] е правоъгълник и значи [tex]FG=MN=\dfrac{a+b}{2}[/tex]. Нека [tex]P\in AB:NP\parallel AD[/tex] и [tex]Q\in AB:NP\parallel BC[/tex] . Тогава [tex]\measuredangle PNQ=\varphi[/tex] и [tex]PQ=a-b[/tex]. От косинусовата теорема за [tex]\triangle PQN[/tex], за който [tex]NP=x[/tex], [tex]NQ=y[/tex], намираме $$a^2+b^2-2ab=x^2+y^2-2xy\cos\varphi=a^2+b^2-2xy\cos\varphi\Rightarrow S_{NPQ}=\dfrac{1}{2}xy\sin\varphi=\dfrac{1}{2}ab\tg\varphi$$ (Формулата [tex]x^2+y^2=a^2+b^2[/tex] следва от взаимно перпендикулярните диагонали на трапеца). Да допълним [tex]\triangle NPQ[/tex] до успоредника [tex]NPXQ[/tex] и нека ъгълът между диагоналите му е [tex]\theta[/tex]:

2023-07-15 (2).png (44.77 KiB) Прегледано 1633 пъти

Тогава $$S_{NPXQ}=2S_{NPQ}=ab\tg\varphi=\dfrac{1}{2}\cdot XN\cdot PQ\cdot\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}\tg\varphi$$ и окончателно $$S_{ABCD}=2S_{MGNF}=FG\cdot MN\cdot\sin\theta=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(a+b)^2\cdot 2ab}{a^2-b^2}\tg\varphi=\dfrac{(a+b)ab}{2a-2b}\tg\varphi$$

[S.B.]

... Иван Тонов...

Ваш треньор и преподавател ....Мой колега от далечните ни студентски години!Заедно с Чавдар Лозанов,Любо Давидов...Незбравими години!

[S.B.]

Без заглавие - 2023-07-15T090843.732.png (255.75 KiB) Прегледано 1610 пъти

Благодаря на nikola.topalov за вниманието!
Представям и моето решение:
[tex]AB = a,CD = b , AC \cap BD = O[/tex]
Нека $AD = m , BC = n$
[tex]C C_{1 } ||AD , C C_{1 } = m, \angle C_{1 }CB = \varphi , CH \bot AB = h , H \in AB[/tex]
От това ,че диагоналите са взаимно перпендикулярни [tex]\rightarrow[/tex]
[tex]AO^{2 } + DO^{2 } = AD^{2 } = m^{2 }[/tex]
[tex]BO^{2 } + CO^{2 } = BC^{2 } = n^{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow AO^{2 } + BO^{2 } + DO^{2 } + CO^{2 } = m^{2 } + n^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } + b^{2 } = m^{2 }+ n^{2 }[/tex]

За [tex]\triangle AC C_{1 }[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]C_{1 }B ^{2 } = C C_{1 } ^{2 } + BC^{2 } - 2 .CC_{1 }. BC.\cos \varphi \Leftrightarrow (a - b)^{2 } = m^{2 } + n^{2 } - 2mn\cos \varphi[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a - b)^{2 }= a^{2 }+ b^{2 } - 2mn\cos \varphi \Leftrightarrow ab = mn\cos \varphi[/tex]
$$\Rightarrow mn = \frac{ab}{\cos \varphi } $$
[tex]S_{ C C_{1 }B } = \frac{mn\sin \varphi }{2} \Leftrightarrow S_{C C_{1 }B } = \frac{ab.\sin \varphi }{2\cos \varphi } \Leftrightarrow S_{C C_{1 }B } = \frac{ab\tg \varphi }{2}[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{C C_{1 }B } = \displaystyle \frac{ab\tg \varphi }{2} \\ S_{C C_{1 } B} = \displaystyle \frac{(a - b).h}{2} \end{cases} \Rightarrow h = \displaystyle \frac{ab\tg \varphi }{(a-b)}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.CH \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{a+b}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD }= \frac{a+b}{2}. \frac{ab\tg \varphi }{a-b}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ab(a+b)\tg \varphi }{2(a-b)}$$

[Румен Симеонов]

Моите решения вървят (със съответно очевидно допълнително събираемо) и при произволен ъгъл между диагоналите. Съответно ви предлагам моя фирмула за лице на трапец:
viewtopic.php?f=93&t=31575

[Румен Симеонов]

Браво на ТУ Габрово, в прав текст включва в програмата си за кандидат-студентски изпит по математика изискването за владеене на вектори, включително и до скаларно произведение:

Програма за кандидатстудентски изпит по математика
...
Вектори в равнината и пространството. Събиране и изваж­дане на век­тори и умножение на вектор с число. Скаларно произве­дение на два вектора.

https://www.tugab.bg/priem/programi-za- ... matematika

Правя си извод, че първоначалното мое кратко решение (със перпендикулярност изразена чрез анулиране на скаларно произведение на вектори) ще е разбираемо и полезно за ученици кандидатстващи за ТУ Габрово с изпит по математика.

Университетите в София и Пловдив май нещо изостават, но трябва да проверя по-подробно.

Проверено:

Софийския университет не изостава от ТУ Габрово, макар че изискванията му не са в толкова прав текс:

Кандидатстудентският изпит по математика е един, наречен Математика, и от 2022 е с нов формат, състоящ се от:

Две от задачите с избираем отговор и една от тези с цялостно решение могат да съдържат елементи от материала за профилирана подготовка в 11. и 12. клас.

https://www.fmi.uni-sofia.bg/bg/izpiti

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА

II. Профилирана подготовка.

17. Вектори и координати. Аналитична геометрия в равнината. Стереометрия.

https://www.uni-sofia.bg/index.php/bul/ ... matematika

Из Наредба 7 за профилираната подготовка:

Знае понятията координати на вектор, линейна зависимост и линейна независимост на вектори.

Умее да извършва операции с вектори, зададени с координати.

Знае понятието СКАЛАРНО ПРОИЗВЕДЕНИЕ на два вектора.

Може да намира дължина на отсечка и мярка на ъгъл между два вектора.

https://lex.bg/bg/laws/ldoc/2136903322

Проверено: ПУ също не изостава:

Програмата регламентира учебното съдържание по математика, с което може да бъде решена всяка от предложените задачи. Ако обаче кандидат-студентът използва при решаването на някои от задачите знания, които не са заложени в програмата, решението също се зачита.

https://fmi-plovdiv.org/index.jsp?id=583&ln=1

[Румен Симеонов]

Благодаря на колегата Румен Симеонов за вниманието към публикуваната от мен задача!Решението е интересно,но не е достъпно за учениците от 9 - 11 клас, към които е адресирана задачата,тъй като материала,който използвате, не е застъпен в българските общообразователни училища.Може би евентуално е частично застъпен само в матеметическите паралелки и гимназии.Аз разбирам Вашето решение,но целта е да бъде разбрано от учениците.Още веднъж Ви благодаря!

Не сте указала изрично, че насочвате задачата за ученици само от общообразователните училища и само до 11-ти клас. Съгласно форума, в задача на седмицата се поставят задачи решими със знания до 12-ти клас, а значи - и със знания от профилираната подтотовка. Освен нова, като са включени всички знания от средното училище се предполага, че задачите ще са полезни и за кандидат-студентски изпити по математика. Направих си труда и установих, вж предишния ми пост, че ТУ Габрово и СУ си запазват правото да дават задачи решими със знания от профилираната подготовка, включително вектори и техни скаларни произведения, а ПУ гарантира правото на кандидат-студента да използва неограничени знания при решаването на всяка задача.

Задача на седмицата
Интересни задачи, решими със знания до 12 клас.