Окръжности и 6 ъгъла по 60 градуса

[ins-]

На картинката трите прави образуват 6 ъгъла по 60 градуса. С [tex]r_1, r_2, r_3, r_4, r_5, r_6[/tex] са означени последователно радиусите на малките окръжности (допиращи се до правите и голямата окръжност). Да се докаже, че: [tex]r_1.r_3+r_3.r_5+r_5.r_1=r_2.r_4+r_4.r_6+r_6.r_2[/tex].

okrujnosti_r.jpg (62.96 KiB) Прегледано 1521 пъти

Скрит текст: покажи

/ Задача, която (пре)открих преди доста време. Използвам "(пре)открих", защото нямам данни някой да е предлагал тази задача преди мен, но и нямам достъп до всички възможни източници от целия свят, както и мания за величие. Причината да пусна стара задача е, защото разбрах, че може да се реши с материал, разбираем за ученик от общообразователно училище. Ако никой не я реши и/или някой проявява интерес, бих могъл да предоставя насоки. /

[Румен Симеонов]

1. Не е мания за величие, а е проява на добър вкус и поемане на отговорност, когато укажеш, че задача и/или решение е твое. С това всъщност декларираш, че сам си я/го измислил, а не си го взел отнякъде. Подразбира се, че не е изключено нито забранено, някой, ако разполага с такова, да посочи и друго място където е виждал задачата/решението. Аз не разполагам и считам, до доказване на противното, че тази хубава задача е Ваша.
2. Предлагам да се допълни с въпрос дали освен, че е необходимо условие, даденото равенство е (или не е) и достатъчно условие за положителните числа $k_1, ..., k_6$, за да би могло те да се окажат поредни радиуси от такава картинка с такива допирания.
3. Моля потвърдете (или отхвърлете) че текста е с предимство пред картинката и, съответо, не можем да ползваме наличието(?) на двете видими(?) допирания на съседни малки/вътрешни окръжности.

[ins-]

Румен Симеонов, не е нужно малки окръжности да се допират една до друга. Допират се само до голямата окръжност. Конфигурацията е доста богата. С нея съм виждал между 10 и 15 отделни задачи. Нека, засега, да не усложняваме условието!

[ins-]

Ако някой се интересува от решения и допълнителни твърдения, свързани с тази конфигурация може да прегледа тази статия и линковете в края й: http://sangaku-journal.com/2023/SJM_202 ... 1_Sett.pdf