Система

[S.B.]

Да се намерят всички двойки реални корени на системата:
$$\begin{array}{|l} ( x^{2 } + 1)( y^{2 }+ 1) = 10 \\( x + y)(xy -1) = 3 \end{array}$$

[nikola.topalov]

Ще извършим полагането [tex]u:=x+y[/tex] и [tex]v:=xy[/tex], откъдето горната система, след малко преработка, става еквивалентна на $$\begin{array}{|l} u^2+(v-1)^2=10 \\ u(v-1)=3\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} (u+v-1)^2=16 \\ u(v-1)=3\end{array}$$ Горната система се разбива на две подсистеми $$ \begin{array}{|l} u+v=5\\ u(v-1)=3 \end{array}\cup \begin{array}{|l} u+v=-3\\ u(v-1)=3 \end{array}$$ от които получаваме четири двойки реални корени [tex](u,v)=(1,4)[/tex], [tex](u,v)=(3,2)[/tex], [tex](u,v)=(-3,0)[/tex] и [tex](u,v)=(-1,-2)[/tex]. Задачата се довършва стандартно. Получавам [tex](x,y)=(-3,0)[/tex], [tex](x,y)=(0,-3)[/tex], [tex](x,y)=(-2,1)[/tex], [tex](x,y)=(1,-2)[/tex], [tex](x,y)=(1,2)[/tex], [tex](x,y)=(2,1)[/tex] и две двойки комплексни решения, получени от системата [tex]\begin{array}{|l} x+y=1\\ xy=4 \end{array}[/tex], които обаче не удовлетворяват условието [tex](x,y)\in\mathbb{R}^2[/tex].

[Румен Симеонов]

По-правилно е да казвате двойка реални числа корен на системата или реална двойка (числа) корен на системата, съответно - двойки реални числа корени (двойките, а не числата) на системата или реални двойки (числа) корени (двойките, а не числата) на системата, а да не казвате двойки реални корени на системата, когато искате да споменете двойки $(x,y)$. Така е защото нито $x$ е корен на системата, нито $y$ е корен на системата. Те, $x$ и $y$, не са корени на системата и, съответно, (x,y) не е двойка корени на системата. Те са компоненти ($x$ - първа, $y$ - втора) на двойката $(x,y)$, наричана и вектор, която двойка е корен на системата (само когато е решение на системата, разбира се).

[S.B.]

Да се намерят всички двойки реални корени на системата:
$$\begin{array}{|l} ( x^{2 } + 1)( y^{2 }+ 1) = 10 \\( x + y)(xy -1) = 3 \end{array}$$

Мисля,че от уважение към аудиторията е крайно време да представя и моето решение.То не се различава много от решението на колегата nikola.topalov.Но аз ще представя само онази част от решението , която nikola.topalov не показа:

[tex]\begin{array}{|l} ( x^{2 } + 1)( y^{2 } + 1) = 10 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2 } y^{2 } + x^{2 }+ y^{2 } + 1 = 10 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2 } y^{2 } + (x + y)^{2 } - 2xy = 9 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 \end{array}[/tex]
Полагам $x + y = u , xy = v$ , замествам и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} u^{2 } + v^{2 } - 2v = 9 \\ u(v - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} u^{2 }+ v^{2 } - 2v = 9 \\ uv - u = 3 \end{array}[/tex]
1)
[tex]\begin{array}{|l} u^{2 } + v^{2 } - 2v = 9 \\ uv - u = 3 |.(-2 )\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} u^{2 } + v^{2 } - 2v = 9 \\ -2uv + 2u = -6\end{array}[/tex]


Събирам почленно и получавам:

[tex](u - v)^{2 } + 2(u - v) - 3= 0[/tex]
Полагам $u - v) = t$
[tex]t^{2 } + 2t - 3 = 0 , D = 16 , t_{1,2 } = \frac{-2 \pm 4 }{2} \Rightarrow t_{1 } = 1 , t_{1 } = - 3[/tex]
$$\Rightarrow u - v = 1 ; u - v = -3$$

2)
[tex]\begin{array}{|l} u^{2 } + v^{2 } - 2v = 9 \\ uv -u = 3 |2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} u^{2 } + v^{2 } - 2v = 9 \\ 2uv - 2u = 6 \end{array}[/tex]

Събирам почленно и получавам:
[tex](u + v)^{2 } - 2(u + v) - 15 = 0[/tex]
Полагам $ u + v = q$
[tex]q^{2 } - 2q - 15 = 0 , D = 64 , q_{1,2 } = \frac{2 \pm 8 }{2} , q_{1 } = 5, q_{2 } = - 3[/tex]
$$\Rightarrow u + v = 5 ; u + v = - 3$$

Получените отговори комбинирам и получавам 4 системи за $u$ и $v$

[tex]\begin{array}{|l} u + v = 5\\ u - v = 1\end{array}[/tex] от където $ u = 3 , v = 2 $

[tex]\begin{array}{|l} u + v = 5 \\ u - v = -3 \end{array}[/tex] от където $ u = 1 , v = 4 $

[tex]\begin{array}{|l} u + v = -3 \\ u - v = 1 \end{array}[/tex] от където $u = -1 , v = -2$

[tex]\begin{array}{|l} u + v = -3 \\ u - v = -3 \end{array}[/tex] от където $u = -3 , v = 0$

След това се връща и основната субституция :$x+ y = u , xy = v$
Останалото е ясно