Правилна четириъгълна пирамида

[S.B.]

Периметърът на околната стена на правилна четириъгълна пирамида е равен на $2p$ , а ъгълът между две съседни околни стени е [tex]\alpha[/tex].Да се намерят обемът и околната повърхнина на пирамидата.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата е красива, но ме мързи да изпиша решението. Ще нахвърлям само някои идеи. Може да се започне с косинусова теорема за триъгълник със страни - височините на 2 околни стени и диагонал на основата. Ъгълът срещу диагонала е [tex]\alpha[/tex]. Това ще ни даде зависимост между основен ръб и височина на околна стена към околен ръб. След това изразяваме лице на околна стена по 2 начина. Така включваме и височина към основата на околна стена. След това, по Питагорова теорема, изразяваме височината към основата чрез околен и основен ръб. Така вече имаме уравнение, включващо околен ръб, основен ръб и тригонометрична функция на [tex]\alpha[/tex] (уравнение 1). Съобразяваме, че [tex]2b+a=2p[/tex] (уравнение 2) от даденото в условието. Уравнение 1 и уравнение 2 дават система за основния и околния ръб и дадените в условието елементи. Останалото е заместване по формули и тригонометрични преобразувания.

[S.B.]

Без заглавие - 2023-09-03T140445.490.png (314.31 KiB) Прегледано 1347 пъти

Искам да отбележа, че задачата не е авторска.Тази задача е от кандидатстудентски курс на проф.К.Николов от УНСС.Не помня годината.Беше много,много отдавна,когато по-малкият ми син кандидатстваше в УНСС.
Ще представя моето решение:

Зададеният [tex]\angle \alpha[/tex] е двустенният ъгъл между две съседни околни стени на пирамидата и никак не е удобно да се работи с него.Много по- удобно е да се работи с [tex]\angle \varphi[/tex], който е ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.
Нека основният ръб на пирамидата $МABCD$ е $a$ , околният ръб е $l$. [tex]OM \bot (ABCD) , OM = h[/tex]
$ABCD$ е основата , [tex]AC \cap BD = O[/tex]
Построявам [tex]BN \bot CM , DN \bot CM \Rightarrow \angle BND = \alpha , \triangle BND[/tex] е равнобедрен , $ON$ е височина,медиана и ъглополовяща

От [tex]\triangle NOB[/tex] получавам [tex]\frac{ON}{OB} = \cotg \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow ON = \frac{a \sqrt{2} }{2}\cotg \frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle NOC[/tex] (правоъгълен) получавам [tex]\frac{ON}{OC} = \sin \varphi \Leftrightarrow ON = \frac{a \sqrt{2} }{2}\sin \varphi[/tex]
[tex]\begin{cases} ON = \displaystyle\frac{a \sqrt{2} }{2}.\cotg \displaystyle\frac{ \alpha }{2} \\ ON = \displaystyle\frac{a \sqrt{2} }{2}.\sin \varphi \end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow \cotg \frac{ \alpha }{2} = \sin \varphi $$
Ето защо , аз ще работя със функции на [tex]\angle \varphi[/tex], като накрая,ще преобразувам отговорите, като използвам, че [tex]\sin \varphi = \cotg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

От околната стена имам [tex]a + 2l = 2p[/tex]
От [tex]\triangle OCM \rightarrow \frac{OC}{MC} = \cos \varphi \Leftrightarrow OC = MC.\cos \varphi \Leftrightarrow \frac{a \sqrt{2} }{2} = l.\cos \varphi[/tex]

Образуван системата:
[tex]\begin{array}{|l} a + 2l = 2p \\ a \sqrt{2} = 2l\cos \varphi \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + 2l = 2p \\ a = \displaystyle \frac{2l\cos \varphi }{ \sqrt{2} } \end{array}[/tex]
[tex]\frac{2l\cos \varphi }{ \sqrt{2} } + 2l = 2p \Leftrightarrow l ( \frac{\cos \varphi + \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }) = p[/tex]
$$\Rightarrow l = \frac{p \sqrt{2} }{\cos \varphi + \sqrt{2} } ; a = \frac{2p\cos \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} }$$

Скрит текст: покажи

където [tex]\cos \varphi = \sqrt{1 - \sin^{2 } \varphi } = \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

От [tex]\triangle OCM \rightarrow \frac{OM}{CM} = \sin \varphi \Leftrightarrow h = l\sin \varphi[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{p \sqrt{2} \sin \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} } $$

[tex]V_{MABCD } = \frac{1}{3} S_{ABCD } .h \Leftrightarrow V_{MABCD } = \frac{1}{3} \frac{4 p^{2 } \cos^{2 } \varphi }{ (\cos \varphi + \sqrt{2}) ^{2 } }. \frac{p \sqrt{2}\sin \varphi }{ (\cos \varphi + \sqrt{2} )} = \frac{4 \sqrt{2} }{3} \frac{ p^{3 } \cos^{2 } \varphi\sin \varphi }{ (\cos \varphi + \sqrt{2} )^{3 } }[/tex]

$$V_{MABCD } = \frac{4 \sqrt{2} p^{3 } }{3}. \frac{(1 - \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} )\cotg \frac{ \alpha }{2} }{ ( \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } + \sqrt{2} )^{3 } }$$

Околната повърхнина [tex]S_{ок. } = 4. S_{ABM }[/tex]
[tex]S_{ABM } = \sqrt{p(p - a)(p - l)(p - l)}[/tex] ( По Хероновата формула)
[tex]2p = a + 2l \Rightarrow p = \frac{a}{2} + l[/tex]
[tex]p - a = \frac{a}{2} + l - a \Rightarrow p - a = l - \frac{a}{2} = \frac{p \sqrt{2} }{\cos \varphi + \sqrt{2} } - \frac{p\cos \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} } = \frac{p( \sqrt{2} - \cos \varphi )}{\cos \varphi + \sqrt{2} }[/tex]
[tex]p - l = \frac{a}{2} + l - l = \frac{a}{2} = \frac{p\cos \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} }[/tex]

[tex]S_{ок } = 4 \sqrt{p(p - l). (\frac{a}{2} )^{2 } } =2a \sqrt{p(p - l)} = \frac{4p\cos \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} } \sqrt{ p^{2 }. \frac{ \sqrt{2} - \cos \varphi }{ \sqrt{2} +\cos \varphi } } = \frac{4 p^{2 }\cos \varphi }{\cos \varphi + \sqrt{2} } \sqrt{ \frac{2 - \cos^{2 } \varphi }{ (\cos \varphi + \sqrt{2}) ^{2 } } } = \frac{4 p^{2 }\cos \varphi }{ (\cos \varphi + \sqrt{2}) ^{2 } } \sqrt{2 - \cos^{2 } \varphi }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ок } = \frac{4 p^{2 } \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } }{ ( \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } + \sqrt{2} )^{2 } }. \sqrt{1 + \cotg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }$$

Скрит текст: покажи

Моля да ме извините ако откриете технически грешки.Мисля,че идеята е ясна

[ins-]

Скрит текст: покажи

Аз съм завършил УНСС. Влязох с максималния възможен бал през 1998 г. Тогава имаше сгрешено условие на стереометрична задача на кандидатстудентския изпит. После го оправиха. Задачата стана лесна и удължиха времето.