Ъгъл между прави

[nikola.topalov]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], като [tex]AC=BC=\sqrt{2}[/tex], [tex]AD=BD=\sqrt{5}[/tex] и [tex]AB=2[/tex]. Височината [tex]DH[/tex] на пирамидата лежи в равнината [tex](ABD)[/tex]. Нека [tex]BQ\perp (ACD)[/tex], [tex]Q\in (ACD)[/tex]. Да се намери ъгълът между правите [tex]DH[/tex] и [tex]BQ[/tex].

[KOPMOPAH]

Ъгъл между прави.png (7.74 KiB) Прегледано 1254 пъти

След като височината $DH$ лежи в равнината $(ABD)$, значи околната стена $ABD$ е перпендикулярна на основата. От $AD=BD=\sqrt5$ следва, че $\triangle ABD$ е равнобедрен и $AH=BH=1$. По Питагорова теорема намираме $DH=2$ и $CD=\sqrt 5$.

Изразяваме обема на пирамидата по два начина - веднъж с основа $ABC$ и височина $DH$ и втори път - с основа $ACD$ и височина $BQ$. За целта ни е необходимо лицето на околната стена $ACD$. С помощта на Херонова формула намираме, че $S_{ACD}=\frac 32$.

Обемът на пирамидата е $V=\frac 13 \cdot \frac{\sqrt 2}2\cdot\frac{\sqrt 2}2\cdot 2=\frac 23$

Но от друга страна $V=\frac 13.S_{ACD}\cdot BQ=\frac 13\cdot\frac 32\cdot BQ$, откъдето $BQ=\frac 43$

През т.$H$ прекарваме права, успоредна на $BQ$, която пресича $AQ$ в т.$E$. Тогава $HE$ се явява средна отсечка в $\triangle ABQ$ и $HE=\frac 12 BQ=\frac 23$

Триъгълникът $\triangle EHD$ е правоъгълен с прав ъгъл при върха $D$. Търсеният ъгъл е $\varphi$, чийто косинус е $\cos \varphi=\frac{\frac 23}2=\frac 13$, което съответства на ъгъл от $70,528779365509308630754000660038$ градуса