Да се реши: sin x + tg x = sqrt(3)

[admin]

Да се реши тригонометричното уравнение:
[tex]sin x + tg x = \sqrt{3}[/tex]

[baroveca]

Тук май ще използваме това,че [tex]sinx=\frac{1+tg^2x}{ 1-tg^2x}[/tex] Оттам полагаме [tex]tgx=y[/tex] и решаваме. След като решим това уравнение се връщаме към полагането и намираме стойностите на тангенса. Поне според мен е така.. пък дали е вярно не знам

[ganka simeonova]

Тук май ще използваме това,че [tex]sinx=\frac{1+tg^2x}{ 1-tg^2x}[/tex] Оттам полагаме [tex]tgx=y[/tex] и решаваме. След като решим това уравнение се връщаме към полагането и намираме стойностите на тангенса. Поне според мен е така.. пък дали е вярно не знам

Това не е вярно!

[Martin Nikovski]

Само че има един проблем (или по-скоро два )... в тази формула имаме [tex]tg \frac{x}{2 }[/tex] и това, което си написал, е за косинус (ако сменим аргумента, разбира се)...
[tex]sinx=\frac{2tg \frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2} }[/tex], [tex]cosx=\frac{1-tg^2 \frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2} }[/tex]

[baroveca]

Тук май ще използваме това,че [tex]sinx=\frac{1+tg^2x}{ 1-tg^2x}[/tex] Оттам полагаме [tex]tgx=y[/tex] и решаваме. След като решим това уравнение се връщаме към полагането и намираме стойностите на тангенса. Поне според мен е така.. пък дали е вярно не знам

Това не е вярно!

Боже каква глупост написах
Имах предвид това,което Мартин написа...просто докато писах гледах една задача с това чудо и се заблудих........

[Martin Nikovski]

Аз стигам до уравнение от четвърта степен, което не изглежда приятно...
[tex]\sqrt{3}y^4+4y-\sqrt 3=0[/tex], където [tex]y=tg \frac{x}{2}[/tex]...

[ganka simeonova]

За мен лично, тази задача не е здравословна

[b1ck0]

Тъй като се мъчих доста време ... поне да публикувам неуспешния си опит за решение ...

[tex]tan(x)+sin(x)=\sqrt{3}[/tex]
Тъй като не успях да измисля подходящо полагане, обърнах задачата на геометрия:
От [tex]\triangle ABO[/tex] определяме [tex]AO = tan^{2}(x) + 1[/tex]
Определяме дължината на [tex]AC = tan^{2}(x)+1 - cos(x)[/tex]

За да бъде изпълнено [tex]sin(x)+tan(x)=sqrt{3}[/tex], то [tex]AC^{2} = AB^{2} - \left( \sqrt{3} -AB \right)^{2}[/tex] или с други думи:
[tex]\left( 1+ \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}-\cos \left( x \right) \right) ^{2}= \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}- \left( \sqrt {3}-\tan \left( x \right) \right) ^{2}[/tex]

[tex]\left( 1+ \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}-\cos \left( x\right) \right) ^{2}+ \left( \sqrt {3}-\tan \left( x \right) \right) ^{2}= \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}[/tex]

[tex]-{\frac {2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right) \left( \cos \left( x\right) \right) ^{3}-2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}-\left( \cos \left( x \right) \right) ^{6}+2\, \left( \cos \left( x\right) \right) ^{3}- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}-1}{\left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}}}= \left( \tan \left( x\right) \right) ^{2}[/tex]

[tex]-{\frac {2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right) \left( \cos \left( x\right) \right) ^{3}-2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}-\left( \cos \left( x \right) \right) ^{6}+2\, \left( \cos \left( x\right) \right) ^{3}- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}-1+\left( \tan \left( x \right) \right) ^{2} \left( \cos \left( x\right) \right) ^{4}}{ \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}}}=0[/tex] ДС: [tex]cos^{4}(x) \ne 0[/tex]

Остава:
[tex]2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right) \left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}-2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}- \left(
\cos \left( x \right) \right) ^{6}+2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}-1+ \left(\tan \left( x \right) \right) ^{2} \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}=0[/tex]

[tex]2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right) \left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}+2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}- \left(
\cos \left( x \right) \right) ^{6}-3\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{4}-1=0[/tex] и дотук (вече ми омръзна, защото явно това не е начина)...

[allier]

Няма хубаво решение на уравнението - има два клона решения, всеки с период 2?, единият с начален член 0.7945606...., а другият - -1.929346... С други думи, непериодични дроби, несвързани с ?.

[b1ck0]

А как се намират ?

[allier]

Мартин по-горе е получил едно уравнение от 4-та степен - като се намерят реалните корени (с формули или с приближение) и се вземе аркус-тангенса (развит в степенен ред). Т.е. без компютър не става. Пусни го на Matlab или на Maple. Най-бързо го смята Wolphram Alpha-та, но тя не казва точно какви алгоритми за приближение използва.

[ins-]

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities
има едно:
Relation to the complex exponential function
то би ли могло да е от полза?

[ins-]

[tex]sinx+tgx=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx+\frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx.cosx+sinx={\sqrt{3}}{cosx}[/tex]
[tex]1+\frac{1}{cosx}=\frac{\sqrt{3}}{sinx}[/tex]
Това уравенение ми е познато отнякъде.
След повдигане на квадрат и полагане на t=cosx
Получаваме уравнението:
[tex]t^4+2t^3+3t^2-2t-1=0[/tex]
Чиито реални корени са:
[tex]t_1 =- \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}-\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
[tex]t_2 = - \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
Интересно ми е как се решава уравнението от 4-та степен без формула на Кардано.

[inveidar]

[tex]sinx+tgx=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx+\frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx.cosx+sinx={\sqrt{3}}{cosx}[/tex]
[tex]1+\frac{1}{cosx}=\frac{\sqrt{3}}{sinx}[/tex]
Това уравенение ми е познато отнякъде.
След повдигане на квадрат и полагане на t=cosx
Получаваме уравнението:
[tex]t^4+2t^3+3t^2-2t-1=0[/tex]
Чиито реални корени са:
[tex]t_1 =- \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}-\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
[tex]t_2 = - \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
Интересно ми е как се решава уравнението от 4-та степен без формула на Кардано.

Не бяха ли на Ферари?!

[ins-]

Някой е дремал, дали съм бил аз?!

[inveidar]

Дремал си, приятелю!
Lodovico Ferrari (February 2, 1522 – October 5, 1565) was an Italian mathematician.

Born in Milan, Italy, grandfather, Bartholomew Ferrari was forced out of Milan to Bologna. He settled in Bologna, Italy and he began his career as the servant of Gerolamo Cardano. He was extremely bright, so Cardano started teaching him mathematics. Ferrari aided Cardano on his solutions for quadratic equations and cubic equations, and was mainly responsible for the solution of quartic equations that Cardano published. While still in his teens, Ferrari was able to obtain a prestigious teaching post after Cardano resigned from it and recommended him. Ferrari eventually retired young (only 42) and quite rich. He then moved back to his home town of Bologna where he lived with his widowed sister Maddalena to take up a professorship of mathematics at the University of Bologna in 1565. Shortly thereafter, he died of white arsenic poisoning, allegedly murdered by his greedy sister.
Друг цитат:
Днес той е най-известен за постиженията си в алгебрата. Той публикува решенията на уравнения от трета и четвърта степен. В книгата си Ars magna дава решение за един частен случай на кубично уравнение от вида x3 + ax = b (в съвременен запис), съобщено му от Николо Фонтана Тарталия (it:Niccolo Fontana Tartaglia) (който по-късно претендира, че Кардано се е заклел да не го публикува и влиза в десетгодишен спор с него), а уравнението от четвърта степен е решено от ученика на Кардано, Лодовико Ферари (it:Lodovico Ferrari).
Лодовико Ферари
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Лодовико Ферари
италиански математик
Роден: 2 февруари 1522
Болоня, Италия
Починал: 5 октомври 1565
Болоня, Италия
Последен цитат:
Лодовико Ферари (на италиански: Lodovico Ferrari, в български източници и Лудовико[1][2]) е италиански математик, който пръв намира алгебрично решение на уравнение, в което неизвестното е от четвърта степен.
Роден е в бедно семейство. На 14 години Ферари заминава за Милано, където се наема за прислужник при знаменития италиански математик Джироламо Кардано. Присъствайки на лекциите на Кардано, Ферари скоро научава старогръцки, латински и математика. Забелязвайки неговия талант, Кардано го взима за помощник в своите изследвания на кубичното уравнение. Едва 18 годишен Ферари самостоятелно намира решение на уравнение от четвърта степен.
Решенията на алгебричните уравнения от трета и четвърта степен са публикувани през 1545 г. от Кардано в книгата „Арс Магна“ („Великото изкуство“). Отпечатването на тази книга предизвиква яростна реакция от Николо Тарталия, който твърди, че решението на кубичното уравнение е откраднато от него. След размяна на няколко обидни писма, на 10 август 1548 г. в Милано се провежда знаменитото математическо състезание между Тарталия и Ферари, който защитава своя учител. Журито на този своеобразен математически дуел обявява Ферари за победител, въпреки че според съвременните изследователи правото на първооткривател е на Тарталия. Тази победа донася на Ферари огромна слава и той получава много изгодни предложения за служба, от които избира предложението за данъчен надзорник в Мантуа. Постът скоро го превръща в състоятелен човек. След конфликт с регента на Мантуа, Ферари се оттегля в Болоня, където живее с овдовялата си сестра.
През пролетта на 1565 г. Лодовико Ферари става професор по математика в Болонския университет. Няколко месеца по-късно, Ферари внезапно умира. Съвременниците му са били убедени, че е отровен от сестра си, която е наследила огромното му богатство.
И накрая ще кажа, че който е учил математика в софийския университет и малко от малко е чел добри български и руски учебници и книги по математика знае добре, че формулите за корените на уравнение от четвърта степен се наричат формули на Ферари!!!

[inveidar]

[tex]sinx+tgx=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx+\frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]sinx.cosx+sinx={\sqrt{3}}{cosx}[/tex]
[tex]1+\frac{1}{cosx}=\frac{\sqrt{3}}{sinx}[/tex]
Това уравенение ми е познато отнякъде.
След повдигане на квадрат и полагане на t=cosx
Получаваме уравнението:
[tex]t^4+2t^3+3t^2-2t-1=0[/tex]
Чиито реални корени са:
[tex]t_1 =- \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}-\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
[tex]t_2 = - \frac{1}{2}+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}-1}[/tex]
Интересно ми е как се решава уравнението от 4-та степен без формула на Кардано.

И въобще не ми се вярва това да са корените на уравнението!

[ins-]

Че формулите за решаване на уравнения от 4-та степен носят името на Ферари ми е било добре известно още когато
съм писал това мнение. Че формулата на Кардано е на Тарталия също ми е било добре известно. За откритията на Абел за уравненията от по-висока степен също съм знаел.

За решението на уравнението би могъл да се използва и готов софтуер:
http://www.quickmath.com/webMathematica ... /basic.jsp
http://www.wolframalpha.com/input/?i=t^4%2B2t^3%2B3t^2-2t-1%3D0
и когато съм писал тези корени съм ползвал такъв, а дали съм въвел нещо грешно в него е друг въпрос.

Грешките ми са поради невнимание, а не поради незнание. Освен това - не претендирам да съм добър
математик - казвал съм го неведнъж. Нямам математическо образование. Математиката е просто увлечение, а не приоритет за мен.

Това че съм се объркал даже е хубаво - стана повод за поява на материала, който си пуснал.

[martosss]

И аз стигам до [tex]t^4+2t^3+3t^2-2t-1=0[/tex] , но не знам дали може да се реши "хубаво".

[MasterZ]

И аз стигам до [tex]t^4+2t^3+3t^2-2t-1=0[/tex] , но не знам дали може да се реши "хубаво".

пробвах и хубаво решение няма :Д

[popawili]

Като се приложи универсалната субституция се получава уравнение от втора степен което си решаваме , в което
променливата е y=tg(x:2).Задачата има реален корен.

[ganka simeonova]

Като се приложи универсалната субституция се получава уравнение от втора степен което си решаваме , в което
променливата е y=tg(x:2).Задачата има реален корен.

Не е вярно. У-то не е от 2-ра степен.

[popawili]

Само че има един проблем (или по-скоро два )... в тази формула имаме [tex]tg \frac{x}{2 }[/tex] и това, което си написал, е за косинус (ако сменим аргумента, разбира се)...
[tex]sinx=\frac{2tg \frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2} }[/tex], [tex]cosx=\frac{1-tg^2 \frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2} }[/tex]

Тъй като не бях чел , отговорите трябва да направя някои уточнения.
Всъщност той Мартин Никовски е дал формулите на универсалната субституция . При използването и x≠(2t+1)pi т.с.
при прилагането и могат да се изпуснат решения.Но в разглеждания случай това не се получава.
Значи тангеса го изразяваме чрез синус и косинус.После синуса и косинуса ги заместваме като използваме формулите
на Мартин.Полагаме y=tg(x:2).И решаваме относно y . Получава се квадратно уравнение с положителна дискриминанта.
И двата корена са в дефиниционната област на уравнението .После като ги заместим в 2*arctg(y)=x .
На сметалото грубо ги сметнах и получих за х стойности 13,64 и 151,1 градуса .
п.п. Пуснала си коментар докато съм писал моя.
Значи общия числител е 1-у^2.Дробта която е бил синуса е умножаваме по (1-y) и в числителя y става от втора степен , където е бил тангенса числителя е от първа степен , а дясната страна равенството става от втора степен.
После имаме само събирания и изваждания няма как да се повиши степента.

[ganka simeonova]

Грешиш!
Получава се у-е от 4 степен.
[tex]4t=\sqrt{3} (1-t^4)[/tex]

[popawili]

Грешиш!
Получава се у-е от 4 степен.
[tex]4t=\sqrt{3} (1-t^4)[/tex]

Да речем, че аз бъркам,просто ката заместиш във уравнението формулите няма как да получиш уравнение по-високо от трета степен, защото нямаш никъде да умножаваш изрази и двата да са от втора степен.