Триъгълник в правоъгълник

[KOPMOPAH]

Триъгълник в правоъгълник.png (7.11 KiB) Прегледано 1927 пъти

Даден е правоъгълник $ABCD$, $AG=GB$, $CF=FE=ED$, $S_{ABCD}=70$. $S_{GMN}=?$

[ptj]

Вижда ми се лесна за тази тема. Възможни методо за решение са Теорема на Талес, вектори и неопределени коефициенти, Теорема на Менелай и т.н.

[Gruicho]

И по-лесни сме виждали в тая тема... Публикувай щом ти е лесна!

[ptj]

[tex]\triangle DEM \sim \triangle BGM \Rightarrow EM:MG=DE:BG=2:3 \Rightarrow GM:GE=3:5[/tex]

[tex]\ \triangle DFN \sim \triangle BGN \Rightarrow FN:NG=DF:GB=4:3 \Rightarrow GN:NF=3:7[/tex]

[tex]S_{ \triangle MNG}: S_{ \triangle EGF}= \frac{MG.GN}{EG.GF}= \frac{3.3}{5.7}= \frac{9}{35}[/tex] , ( използваме [tex]S_\triangle=a.b.sin(\gamma)[/tex])

[tex]S_ {\triangle EFG}: S_{ABCD}= \frac{1}{2}. \frac{EF}{DC}= \frac{1}{6}[/tex] (обща височина)

Окончателно [tex]S_ {\triangle MGN}:S_{ABCD}= \frac{9}{35} . \frac{1}{6}= \frac{3}{70}[/tex], т.е. [tex]S_{ \triangle MGN}= \frac{3}{70}.70=3[/tex]

[S.B.]

Даден е правоъгълник $ABCD$, $AG=GB$, $CF=FE=ED$, $S_{ABCD}=70$. $S_{GMN}=?$

Без заглавие (30).png (249.69 KiB) Прегледано 1860 пъти

Разменила съм в моя чертеж местата на буквите $E$ и $F$, за което моля колегата KOPMOPAH за извинение! Ще работя по означенията на моя чертеж, а именно:$CE = EF = FD$
Нека [tex]AG = GB = \frac{a}{2}, DF = FE = EC = \frac{a}{3} , AD = BC = b[/tex]
$$S_{ABCD } = 70 \Leftrightarrow ab = 70$$
[tex]S_{EFG } = \frac{EF.BC}{2} \Leftrightarrow S_{EFG } = \frac{1}{2} . \frac{a}{3}.b = \frac{ab}{6} \Rightarrow S_{EFG } = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}[/tex]

[tex]\triangle DFN \approx \triangle NGB \Rightarrow \displaystyle\frac{DF}{GB} =\displaystyle \frac{FN}{NG} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{3} }{\displaystyle \frac{a}{2} } = \displaystyle\frac{2}{3} \Rightarrow FN = 2x , NG = 3x \Rightarrow FG = 5x, x>0[/tex]

За [tex]\triangle FEG[/tex] и правата $DM$ прилагам теоремата на Менелай:

[tex]\frac{DF}{EF}. \frac{FN}{NG}. \frac{GM}{ME} = 1 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2a}{3} }{\displaystyle \frac{a}{3} } . \displaystyle \frac{2}{3}.\displaystyle \frac{GM}{ME} = 1 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{4}{3}. \displaystyle \frac{GM}{ME} = 1 \Rightarrow \displaystyle\frac{GM}{ME} = \displaystyle \frac{3}{4} \Rightarrow GM = 3y , ME = 4y \Rightarrow EG = 7y,y >0[/tex]
[tex]\triangle EFG[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow EG = FG \Leftrightarrow 5x = 7y[/tex]
$$ \Rightarrow y = \frac{5}{7}x$$

[tex]S_{EFG } = \frac{EG.FG}{2}\sin \varphi = \frac{5x.7y}{2} \sin \varphi = \frac{1}{2}.5x.7. \frac{5}{7}x = \frac{1}{2}.25 x^{2 }\sin \varphi[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{EFG } = \displaystyle \frac{35}{3} \\ S_{EFG } = \displaystyle \frac{1}{2}.25 x^{2 }\sin \varphi \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{25}{2} x^{2 } \sin \varphi = \frac{35}{3}[/tex]
$$\Rightarrow x^{2 }\sin \varphi = \displaystyle \frac{14}{15}$$

[tex]S_{GMN } = \frac{MG.NG}{2} \sin \varphi = \frac{1}{2} 3x.3y.\sin \varphi = \frac{1}{2}.3x.3. \frac{5}{7}x.\sin \varphi = \frac{45}{14}. x^{2 }\sin \varphi = \frac{45}{14}. \frac{14}{15} = 3[/tex]

[Евва]

При моето решение използвам главно подобни триъгълници .
Приемам ,че т.М лежи на отсечката AF .
Това трябва ли да се доказва ?

[KOPMOPAH]

При моето решение използвам главно подобни триъгълници .
Приемам ,че т.М лежи на отсечката AF .
Това трябва ли да се доказва ?

Според мен - да, но признавам решението и така

[Евва]

Нека AG =3а , CF=2а и ВС=[tex]\frac{70}{6а}[/tex] .
[tex]S_{MGN }[/tex] =S =?
[tex]\triangle[/tex]GBN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NFD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ S_{GBN } }{ S_{NFD } }[/tex] =[tex]\frac{9 a^{2 } }{16 a^{2 } }[/tex] , означаваме [tex]S_{GBN }[/tex]= 9[tex]S_{1 }[/tex] и [tex]S_{NFD } =16 S_{1 }[/tex] (1)
MG е медиана в [tex]\triangle[/tex]ABM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AGM } = S_{GBM }[/tex] =S+9[tex]S_{1 }[/tex]

[tex]\triangle[/tex]AGM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MFE [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ S_{AGM } }{ S_{MFE } }[/tex] =[tex]\frac{9 a^{2 } }{4 a^{2 } }[/tex] ; [tex]\frac{S+9 S_{1 } }{ S_{MFE } } = \frac{9}{4}[/tex] ; [tex]S_{MFE }[/tex] =[tex]\frac{4S+36 S_{1 } }{9}[/tex]
ME е медиана в [tex]\triangle[/tex]DMF [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{DME } = S_{MFE } = \frac{4S+36 S_{1 } }{9}[/tex]

[tex]S_{NFD } = S_{MNF } + S_{MFE } + S_{DME }[/tex] [ виж (1)]
16[tex]S_{1 } = S_{MNF }[/tex] +2.[tex]\frac{4S+36 S_{1 } }{9}[/tex] ; [tex]S_{MNF } = \frac{72 S_{1 } -8S}{9}[/tex] (2)

[tex]S_{GFE } = S_{GNM } + S_{MNF } + S_{MFE }[/tex]

[tex]\frac{EF.BC}{2}[/tex] =S+ [tex]\frac{72 S_{1 } -8S}{9} + \frac{4S +36 S_{1 } }{9}[/tex]

[tex]\frac{2a}{2} . \frac{70}{6a} = \frac{9S +72 S_{1 } -8S+4S+36 S_{1 } }{9}[/tex]

5S +108[tex]S_{1 }[/tex] =105 |:6[tex]\ne[/tex]0 ; 18[tex]S_{1 } = \frac{105-5S}{6}[/tex] (3)

[tex]S_{AGF } = S_{AGM } +S_{GNM } + S_{MNF }[/tex]
[tex]\frac{AG.BC}{2}[/tex] =S+9[tex]S_{1 }[/tex] +S+ [tex]\frac{72 S_{1 } -8S }{9}[/tex]

[tex]\frac{3a}{2}[/tex] .[tex]\frac{70}{6a}[/tex] =[tex]\frac{18S +81 S_{1 } +72 S_{1 } -8S}{9}[/tex]
20S+306[tex]S_{1 }[/tex] =315 |:17[tex]\ne[/tex]0 ; 18[tex]S_{1 } = \frac{315 -20S}{17}[/tex] (4)

От (3) и (4) следва [tex]\frac{105 -5S}{6} = \frac{315 -20S}{17}[/tex] ; 17.5(21-S) =6.5(63 -4S)

357 -17S =378 -24S ; 7S =21 ; S =3

[ptj]

При моето решение използвам главно подобни триъгълници .
Приемам ,че т.М лежи на отсечката AF .
Това трябва ли да се доказва ?

Естествено всяко твърдение извън условието и допълнителните построения трябва да се доказава. Конкретно да се докаже дали М лежи на AF е почти със същата сложност като оригиналната задача.

[Евва]

Ето още една идея :
Нека АВ =6а и ВС =[tex]\frac{70}{6а}[/tex] . Построяваме GT височина в [tex]\triangle[/tex]GFE . BD[tex]\cap[/tex]GT = т.P (среда на отс. GT)
Нека М[tex]М_{1 }[/tex] и N[tex]N_{1 }[/tex] са разстоянията от точките M и N до правата GT .

За наше удобство първо ще намерим M[tex]M_{1 }[/tex] и N[tex]N_{1 }[/tex] .
[tex]\triangle[/tex]GBM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MED (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{GB}{DE} = \frac{ височина.към.GB}{ височина.към.DE}[/tex] ; [tex]\frac{3a}{2а} = \frac{G M_{1 } }{T M_{1 } }[/tex] ; [tex]\frac{3}{2} = \frac{G M_{1 } }{BC-G M_{1 } }[/tex]
[tex]\frac{3}{2}= \frac{G M_{1 } }{ \frac{70}{6a} -G M_{1 } }[/tex] ; G[tex]M_{1 }[/tex] =[tex]\frac{7}{a}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]G[tex]M_{1 }[/tex]M[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]GTE (1признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{M M_{1 } }{TE} = \frac{G M_{1 } }{GT}[/tex] ; [tex]\frac{М М_{1 } }{а} = \frac{ \frac{7}{a} }{ \frac{70}{6a} }[/tex] ; M[tex]M_{1 }[/tex] =[tex]\frac{3a}{5}[/tex]

По същия подход намираме N[tex]N_{1 }[/tex] =[tex]\frac{3a}{7}[/tex]

[tex]S_{MGN } = S_{GPM } + S_{GNP }[/tex] =
=[tex]\frac{GP.M M_{1 } }{2} + \frac{GP.N N_{1 } }{2}[/tex]= [tex]\frac{ \frac{35}{6a} }{2}[/tex](M[tex]M_{1 }[/tex] +N[tex]N_{1 }[/tex]) =[tex]\frac{35}{12a}( \frac{3a}{5} + \frac{3a}{7} )[/tex] = [tex]\frac{35}{12a} . \frac{36a}{35}[/tex] = 3