Квадрат и отсечка в него

[KOPMOPAH]

Квадрат с отсечка 3.png (5 KiB) Прегледано 6991 пъти

Даден е квадрат $ABCD$. Точките $E$ и $F$ с среди на страните $AB$ и $BC$ съответно. Отсечките $CE$ и $DF$ се пресичат в т.$G$, като $EG=3$. Да се намери лицето на квадрата.

Скрит текст: покажи

Задачата не е трудна, търсят се оригинални решения

[S.B.]

Даден е квадрат $ABCD$. Точките $E$ и $F$ с среди на страните $AB$ и $BC$ съответно. Отсечките $CE$ и $DF$ се пресичат в т.$G$, като $EG=3$. Да се намери лицето на квадрата.

Без заглавие - 2023-12-20T230517.312.png (175.92 KiB) Прегледано 6984 пъти

[tex]\triangle DCF \cong \triangle CBE[/tex] (по първи признак )
[tex]\Rightarrow \angle CDF = \angle ECB = \alpha[/tex]
[tex]\angle BEC = \angle DCE = 90 ^\circ- \alpha[/tex] (кръстни)
[tex]\triangle DCG[/tex] е правоъгълен и [tex]DG \bot CG[/tex]
За [tex]\triangle BCE :BE = x, CB = 2x \Rightarrow EC = x \sqrt{5} ,CG = x \sqrt{5} - 3[/tex]
За [tex]\triangle CFD:[/tex]
[tex]\begin{cases} S = \displaystyle\frac{2x.x}{2} = x^{2 } \\ S = \displaystyle\frac{DF.CG}{2} = \displaystyle\frac{x \sqrt{5}(x \sqrt{5} -3)}{2} \end{cases} \Rightarrow x^{2 }= \displaystyle\frac{x \sqrt{5}(x \sqrt{5} - 3) }{2} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]5x^{2 } - 3x \sqrt{5} = 2 x^{2 } \Leftrightarrow 3 x^{2 } - 3x \sqrt{5} =0 \Leftrightarrow 3x(x - \sqrt{5}) = 0.,x \ne 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}[/tex]
[tex]DC = 2x \Rightarrow DC = 2 \sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = DC^{2 } \Rightarrow S_{ABCD } = 20[/tex]

[KOPMOPAH]

Браво за бързия отговор!

Скрит текст: покажи

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

[Евва]

Както S.B. вече доказа DG[tex]\bot[/tex]CE и CE=DE=x[tex]\sqrt{5}[/tex] .
[tex]CD^{2 } - CG^{2 } =DE^{2 } - GE^{2 }[/tex]

[tex](2x)^{2 } - (x \sqrt{5}-3) ^{2 } = (x \sqrt{5}) ^{2 } - 3^{2 }[/tex]
[tex]4x^{2 } -5 x^{2 } +6 \sqrt{5}x -9=5 x^{2 } -9[/tex]
6x[tex]\sqrt{5} =6x.x[/tex] ; x=[tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD } =4 x^{2 } =20[/tex]

[Евва]

Може и така : [tex](х \sqrt{5} -3)х \sqrt{5} =2 x^{2 }[/tex]
х=[tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex]= 20

Може да се реши и чрез тригонометрия .

[ptj]

[tex]AB=x[/tex]

Нека точка [tex]O[/tex] e симетрична на [tex]D[/tex] спрямо[tex]F[/tex].

[tex]\triangle BFO \cong \triangle CFD[/tex] (I-ви признак) [tex]\Rightarrow \angle{FBO}=90 ^\circ \Rightarrow[/tex] т.[tex]O[/tex] лежи на правата [tex]AB[/tex].

[tex]ЕО=EB+BO=\frac{x}{2}+x= \frac{3}{2}x[/tex]

[tex]EO\parallel DC \Rightarrow GC:GE=OE:DC=3:2 \Rightarrow EC= \frac{5}{3}EG=5[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle{EBC}[/tex] намираме [tex]EC^2=EB^2+CB^2= \frac{5}{4}x^2 \Rightarrow x=2 \sqrt{5}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=x^2=20[/tex]

П.П. Задача, можеща де се реши наум (чертеж и бакалски сметки), определено не е за тази тема.

[Gruicho]

[tex]AB=x[/tex]

Нека точка [tex]O[/tex] e симетрична на [tex]D[/tex] спрямо[tex]F[/tex].

[tex]\triangle BFO \cong \triangle CFD[/tex] (I-ви признак) [tex]\Rightarrow \angle{FBO}=90 ^\circ \Rightarrow[/tex] т.[tex]O[/tex] лежи на правата [tex]AB[/tex].

[tex]ЕО=EB+BO=\frac{x}{2}+x= \frac{3}{2}x[/tex]

[tex]EO\parallel DC \Rightarrow GC:GE=OE:DC=3:2 \Rightarrow EC= \frac{5}{3}EG=5[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle{EBC}[/tex] намираме [tex]EC^2=EB^2+CB^2= \frac{5}{4}x^2 \Rightarrow x=2 \sqrt{5}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=x^2=20[/tex]

П.П. Задача, можеща де се реши наум (чертеж и бакалски сметки), определено не е за тази тема.

Направи чертеж пък тогава критикувай,умнико! И са ти написали,ч е чакат оригинални решения... нима считаш твоето за такова?

[peyo]

Квадрат с отсечка 3.png

Даден е квадрат $ABCD$. Точките $E$ и $F$ с среди на страните $AB$ и $BC$ съответно. Отсечките $CE$ и $DF$ се пресичат в т.$G$, като $EG=3$. Да се намери лицето на квадрата.

Скрит текст: покажи

Задачата не е трудна, търсят се оригинални решения

Моето предложенние за решение е по метода на координатната система.

Да приемем, че лицето на квадрата е 1 $щ^2$

Тогава нека Е е в координати (0,0). Тогава векторите:
[tex]\vec{EC } = (0.5,1)[/tex] , [tex]\vec{FD } = (-1,0.5)[/tex]

Taка уравненията на линиите EC и FD са:
$-x + 0.5y + a= 0$
$0.5x + y + b= 0$

a =0 защото правата минава през 0, а b намираме в (-0.5,1)

$-0.25 + 1 + b= 0$
$ b= -0.75$

Решаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} -x + 0.5y = 0 \\ 0.5x + y -0.75= 0 \end{array}[/tex]

In [74]: solve([-x+0.5*y, 0.5*x+y-0.75])
Out[74]: {x: 0.300000000000000, y: 0.600000000000000}

Да видим как е разтоянието от 0 до (0.3,0.6)?

[tex]\sqrt{0.3^2 + 0.6^2}[/tex]

In [75]: sqrt(0.3**2+0.6**2)
Out[75]: 0.670820393249937

Aко беше 3 всичко щеше да е наред и щяхме да сме познали лицето че е 1. Но е 0.670820393249937.

И сега колко да увеличим страната на квадрата така, че това да стане 3? Страната на квадрата е линейна единица, а лицето е квадратна единица.

In [81]: 3/ 0.670820393249937
Out[81]: 4.472135954999579

Значи трябва да увеличим страната на квадрата 4.472135954999579 пъти (това ще е лесно):

In [83]: 1*4.472135954999579
Out[83]: 4.472135954999579

И сега колко е лицето на търсения квадрат?

In [84]: 4.472135954999579**2
Out[84]: 19.999999999999993

Тук ще предположа, че може и да е точно 20 заради загуба на точност при работа с float числа.

[S.B.]

Може и така : [tex](х \sqrt{5} -3)х \sqrt{5} =2 x^{2 }[/tex]
х=[tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex]= 20

Да ,може! Това е моето решение,което съм представила още снощи в 23:40 ( ако не си забелязала !)...

[ptj]

...
Направи чертеж пък тогава критикувай,умнико! И са ти написали,ч е чакат оригинални решения... нима считаш твоето за такова?

Задачата е прекалено стандартна, за да са необходими някакви оригинални подходи към нея. Колкото до критиката ти - прилича на обаждане на първолак, опитващ се да софлира преподавател от ВУЗ.

[Евва]

За второто ми решение отправната ми точка е коренно различна .
Може да се реши и чрез лица на фигури .
Интересно е как ще се справят учениците .

[nikola.topalov]

IMG_9437.jpeg (541.28 KiB) Прегледано 6903 пъти

[Евва]

Нека т.Р е среда на страната CD ,описваме окр.К около правоъгълника AEPD .
От DE [tex]\equiv[/tex]d (диаметър на окр.К) и [tex]\angle[/tex]EGD =90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] т.G [tex]\in[/tex]окр.К
Тогава CG.CE=CP.CD
[tex](x\sqrt{5} -3)x \sqrt{5} =x.2x[/tex]
x=[tex]\sqrt{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD } =4 x^{2 } =20[/tex]

[Gruicho]

...
Направи чертеж пък тогава критикувай,умнико! И са ти написали,ч е чакат оригинални решения... нима считаш твоето за такова?

Задачата е прекалено стандартна, за да са необходими някакви оригинални подходи към нея. Колкото до критиката ти - прилича на обаждане на първолак, опитващ се да софлира преподавател от ВУЗ.

Грамотните хора пишат "суфлира" и го употребяват в друг контекст. За преподаватели от ВУЗ не знам.

[KOPMOPAH]

Квадрат с отсечка 4.png (10.51 KiB) Прегледано 6855 пъти

За такава прекалено стандартна задача, без каквито и да е оригинални подходи към нея, прилагам един прекалено шарен чертеж, който обяснява всичко. Страната на жълтия централен квадрат, както беше показано по-горе, е $2$.

[S.B.]

П.П. Задача, можеща де се реши наум (чертеж и бакалски сметки), определено не е за тази тема.

Някои хора,като Вас например, я решават дори без чертеж, а само с богато въображение и бакалски сметки!
Тежко и горко на читателя,който влага неимоверни усилия за да разбере какво иска да му каже човек със самочувствие 2 пръста над световното ниво,но без покритие!

[ptj]

Покритието все още го имам и то не от вчера...

[S.B.]

Покритието все още го имам и то не от вчера...

Тази оценка я давате Вие сам на себе си...
Вероятно сте чували, че всеки човек представлява правилна аритметична дроб,която има за числител действителния образ на човека, а за знаменател - оценката която всеки дава сам за себе си...Излишно е да Ви обяснявам,че колкото знаменателят е по-голям,толкова дробта е по-малка

[ptj]

Именно, вашите и чужди оценки не представляват интерес за мен. Пиша тук понякога за да убивам свободното си време. Броя на решените от мен задачи във форума е най-добрия оценител за способностите ми...

[S.B.]

Броя на решените от мен задачи във форума е най-добрия оценител за способностите ми...

Не е важен толкова броя на решените от Вас задачи.По -важно е качеството на Вашите решения...
Но Вие ,обладан от нарцисизъм,не обръщате внимание на този факт.
Вие търсите упорито сламката в окото на Вашите колеги, но никога не забелязвате гредата във Вашето око!
Всеки има своите плюсове и минуси!Хубаво е всеки човек да осъзнава този факт.
Желая Ви Весела Коледа и щастлива Нова година!