Ромб и окръжности

[nikola.topalov]

Даден е ромб [tex]ABCD[/tex], за който [tex]AB=a[/tex] и [tex]\measuredangle DAB=\alpha[/tex]. Около [tex]\triangle ACD[/tex] е описана окръжност [tex]k[/tex]. Окръжност, минаваща през центъра на [tex]k[/tex] и точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], пресича [tex]k[/tex] за втори път в точката [tex]M[/tex]. Ако правите [tex]CD[/tex] и [tex]AM[/tex] се пресичат в точката [tex]N[/tex], то да се намери радиусът на окръжността, описана около [tex]\triangle DMN[/tex].

[KOPMOPAH]

Ромб и окръжности.png (25.34 KiB) Прегледано 1269 пъти

$AM=CD$ като хорди между успоредни прави.

Ъглите $\sphericalangle ACD=\sphericalangle AMD=\frac {\alpha}2$, съответства им дъгата $AD$.

Триъгълникът $\triangle MNC$ е равнобедрен с ъгли $\alpha$ при основата $MC$. По Талес $ND=NA$.

По синусова теорема за $\triangle MAB$ след преобразование получаваме $MB=2a\cos \alpha$.

От подобието на $\triangle AMB$ и $\triangle NAD$ получаваме $\frac {a}{2a\cos \alpha}=\frac {x}{a}\Rightarrow x=\frac {a}{2a\cos \alpha}$.

И накрая една синусова теорема за $\triangle MND$ ни дава $\frac x{\sin \frac{\alpha}2}=2R\Rightarrow R=\frac{x}{{2\sin \frac{\alpha}2}}=\frac a{4\sin \frac{\alpha}2\cos \alpha}$.

[nikola.topalov]

Благодаря за страхотното решение.