Три допиращи се окръжности

[KOPMOPAH]

Три допиращи се окръжности-.png (10.14 KiB) Прегледано 1772 пъти

Да се намери радиусът $r$ на зелената окръжност, която се допира до две допиращи се окръжности с радиуси $R_1$ и $R_2$ и до общата им външна допирателна.

[Евва]

r= [tex]\frac{ R_{1 }R_{2 } }{ R_{1 } +2 \sqrt{ R_{1 }R_{2 } } + R_{2 } }[/tex]

[KOPMOPAH]

r= [tex]\frac{ R_{1 }R_{2 } }{ R_{1 } +2 \sqrt{ R_{1 }R_{2 } } + R_{2 } }[/tex]

Браво за бързото решение!

[Румен Симеонов]

Три допиращи се окръжности-.png

Да се намери радиусът $r$ на зелената окръжност, която се допира до две допиращи се окръжности с радиуси $R_1$ и $R_2$ и до общата им външна допирателна.

По-лесно се помни така:
$\frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{1}{\sqrt{R_1}}+ \frac{1}{\sqrt{R_2}}= \frac{2}{H(\sqrt{R_1},\sqrt{R_2})}$.

[Евва]

Нека окр.[tex]К_{1 } и К_{2 }[/tex] се допират в т.Н ,т.М и т. N са среди съответно на отс.АН и ВН .
Означаваме [tex]\angle[/tex]B[tex]O_{2 }[/tex]H=[tex]\alpha[/tex] ,чрез правоъгълния трапец АВ[tex]О_{2 }О_{1 }[/tex] намираме [tex]\angle[/tex]А[tex]О_{1 }[/tex]Н =180[tex]^\circ - \alpha[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]АМ[tex]О_{1 }[/tex] -правоъгълен) cos[tex]\angle[/tex]MA[tex]O_{1 } = \frac{AM}{A O_{1 } }[/tex] ;cos[tex]\frac{ \alpha }{2} = \frac{ \frac{AH}{2} }{ R_{1 } }[/tex] ; AH= 2[tex]R_{1 }.cos \frac{ \alpha }{2}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]NB[tex]O_{2 }[/tex] -правоъгълен) cos[tex]\angle[/tex]NB[tex]O_{2 }[/tex]=[tex]\frac{NB}{B O_{2 } }[/tex] ;cos(90[tex]^\circ - \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \frac{BH}{2} }{ R_{2 } }[/tex] ; BH= 2[tex]R_{2 }[/tex].sin[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] (2)

[tex]\angle[/tex]AHB+[tex]\angle[/tex]AH[tex]O_{1 }[/tex]+[tex]\angle[/tex]BH[tex]O_{2 }[/tex]= 180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]AHB +[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+90[tex]^\circ[/tex] -[tex]\frac{ \alpha }{2} =180 ^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AHB=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAH +[tex]\angle[/tex][tex]O_{1 }[/tex]AH =90[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]BAH =90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]; Третият ъгъл за [tex]\triangle[/tex]АВН [tex]\angle[/tex]АВН =[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \triangleАМ О_{1 } \approx \triangleАВН (1 пр.) \\ \triangleNB O_{2 } \approx \triangleАВН (1 пр.) \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{AM}{BH} = \frac{A O_{1 } }{AB} \\ \frac{NB}{AH} = \frac{B O_{2 } }{AB} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{ R_{1 }.cos \frac{ \alpha }{2} }{2 R_{2 }.sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ R_{1 } }{AB} \\ \frac{ R_{2 }.sin \frac{ \alpha }{2} }{2 R_{1 }.cos \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ R_{2 } }{AB} \end{array}[/tex]

[tex]\frac{2 R_{2 }.sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex] =AB= [tex]\frac{2 R_{1 }.cos \frac{ \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

Получаваме [tex]R_{2 }[/tex][tex]sin^{2 }[/tex][tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]R_{1 }[/tex][tex]cos^{2 }[/tex][tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] и чрез [tex]sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}+ cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex] =1 намираме
[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\frac{ \alpha }{2} = \frac{ R_{1 } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex] (3) , [tex]cos^{2 }[/tex][tex]\frac{ \alpha }{2} = \frac{ R_{2 } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex] (4)
Да построим правоъгълника ABFE ,като т.О лежи на страната EF .
[tex]\begin{array}{|l} EO^{2 } + E O_{1 } ^{2 } = O O_{1 } ^{2 } \\ FO^{2 }+ F O_{2 } ^{2 } = O O_{2 } ^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} AC^{2 } + ( R_{1 } -r) ^{2 } = ( R_{1 } +r)^{2 } \\ BC^{2 } + ( R_{2 } -r) ^{2 } = ( R_{2 } +r)^{2 } \end{array}[/tex]
Получаваме AC=2[tex]\sqrt{r R_{1 } }[/tex] , BC=2[tex]\sqrt{r R_{2 } }[/tex](5)

[tex]AH^{2 } + BH^{2 } = AB^{2 }[/tex] (Доказахме ,че [tex]\angle[/tex]АНВ =90[tex]^\circ[/tex])

4[tex]R_{1 } ^{2 }[/tex].[tex]cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex] +[tex]4 R_{2 } ^{2 }. sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex] =[tex](AC+BC)^{2 }[/tex]

[tex]4 R_{1 } ^{2 }. \frac{ R_{2 } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex] +[tex]4 R_{2 } ^{2 }. \frac{ R_{1 } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex] =[tex]( 2 \sqrt{r R_{1 } } +2 \sqrt{r R_{2 } } )^{2 }[/tex]

[tex]\frac{4 R_{1 }R_{2 }( R_{1 } + R_{2 } ) }{ R_{1 }+ R_{2 } }[/tex] =4r[tex]R_{1 }[/tex] +8r[tex]\sqrt{ R_{1 }R_{2 } }[/tex] +4r[tex]R_{2 }[/tex]

r=[tex]\frac{ R_{1 }R_{2 } }{ R_{1 } +2 \sqrt{ R_{1 }R_{2 } } + R_{2 } }[/tex]

[S.B.]

Нарочно изчаках решението на Евва.Отговорите ни са еднакви,но пътят по който достигаме до тях е различен.Погледнах отговора на колегата Румен Симеонов и на скрийншота на ГОСТ.Мисля,че в задачата се търси $r$, а не [tex]\frac{1}{ \sqrt{r} }[/tex]
Предлагам и моето решение - "демоде", с LaTex , GeoGebra и намирам $r$

Без заглавие - 2023-12-25T223956.993.png (297.69 KiB) Прегледано 1673 пъти

Построявам [tex]O_{2 }D || AB[/tex] и през т.$O$ [tex]A_{1 } B_{1 }||AB[/tex]

За правоъгълния [tex]\triangle O_{1 } O_{2 }D[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex](O_{2 }D) ^{2 } = ( O_{1 } O_{2 }) ^{2 } - ( O_{1 }D) ^{2 } \Leftrightarrow ( O_{2 }D) ^{2 } =( R_{1 }+ R_{2 }) ^{2 } - ( R_{1 } - R_{2 }) ^{2 } = 4 R_{1 } R_{2 }[/tex]
$$\Rightarrow AB = O_{2 }D = 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } $$

За [tex]\triangle A_{1 } O_{1 }O[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]( A_{1 }О) ^{2 } = ( O_{1 }O) ^{2 }- ( A_{1 } O_{1 }) ^{2 } \Leftrightarrow ( A_{1 }O) ^{2 }= ( R_{1 }+ r) ^{2 } - ( R_{1 }-r) ^{2 } = 4r R_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow AC = A_{1 }O = 2 \sqrt{r R_{1 } }$$

За [tex]\triangle O B_{1 } O_{2 }[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex](O B_{1 }) ^{2 } = (O O_{2 }) ^{2 } - ( O_{2 } B_{1 }) ^{2 } \Leftrightarrow ( O_{2 } B_{1 } )^{2 } = ( R_{2 } + r) ^{2 } - ( R_{2 }- r) ^{2 } = 4 R_{1 } r[/tex]
$$\Rightarrow BC = O B_{1 } = 2\sqrt{r R_{2 } } $$

[tex]AB = AC + BC \Leftrightarrow 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } = 2 \sqrt{r R_{1 } } + 2 \sqrt{r R_{2 } } \Leftrightarrow \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } = \sqrt{r} ( \sqrt{ R_{1 } } + \sqrt{ R_{2 } } ) \Leftrightarrow \sqrt{r} = \frac{ \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{ R_{1 } R_{2 } }{ R_{1 } + 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } + R_{2 } } $$

[Румен Симеонов]

Нарочно изчаках решението на Евва.Отговорите ни са еднакви,но пътят по който достигаме до тях е различен.Погледнах отговора на колегата Румен Симеонов и на скрийншота на ГОСТ.Мисля,че в задачата се търси $r$, а не [tex]\frac{1}{ \sqrt{r} }[/tex]
Предлагам и моето решение - "демоде", с LaTex , GeoGebra и намирам $r$

Без заглавие - 2023-12-25T223956.993.png

Построявам [tex]O_{2 }D || AB[/tex] и през т.$O$ [tex]A_{1 } B_{1 }||AB[/tex]

За правоъгълния [tex]\triangle O_{1 } O_{2 }D[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex](O_{2 }D) ^{2 } = ( O_{1 } O_{2 }) ^{2 } - ( O_{1 }D) ^{2 } \Leftrightarrow ( O_{2 }D) ^{2 } =( R_{1 }+ R_{2 }) ^{2 } - ( R_{1 } - R_{2 }) ^{2 } = 4 R_{1 } R_{2 }[/tex]
$$\Rightarrow AB = O_{2 }D = 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } $$

За [tex]\triangle A_{1 } O_{1 }O[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]( A_{1 }О) ^{2 } = ( O_{1 }O) ^{2 }- ( A_{1 } O_{1 }) ^{2 } \Leftrightarrow ( A_{1 }O) ^{2 }= ( R_{1 }+ r) ^{2 } - ( R_{1 }-r) ^{2 } = 4r R_{1 }[/tex]
$$\Rightarrow AC = A_{1 }O = 2 \sqrt{r R_{1 } }$$

За [tex]\triangle O B_{1 } O_{2 }[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex](O B_{1 }) ^{2 } = (O O_{2 }) ^{2 } - ( O_{2 } B_{1 }) ^{2 } \Leftrightarrow ( O_{2 } B_{1 } )^{2 } = ( R_{2 } + r) ^{2 } - ( R_{2 }- r) ^{2 } = 4 R_{1 } r[/tex]
$$\Rightarrow BC = O B_{1 } = 2\sqrt{r R_{2 } } $$

[tex]AB = AC + BC \Leftrightarrow 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } = 2 \sqrt{r R_{1 } } + 2 \sqrt{r R_{2 } } \Leftrightarrow \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } = \sqrt{r} ( \sqrt{ R_{1 } } + \sqrt{ R_{2 } } ) \Leftrightarrow \sqrt{r} = \frac{ \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } }{ R_{1 } + R_{2 } }[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{ R_{1 } R_{2 } }{ R_{1 } + 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } + R_{2 } } $$

Има изпуснати 2 корена, вероятно при преписването на решението, но те са тук някъде наблизо и сами ще се наместят на правилните места (защото са квадратни, а не кръгови, и не могат да се търкалят накъдето им падне много много). Моята идея от прима виста беше подобна, но малко по-тромава преди да се упрости (от руското упростить, а не от опростявам, опрощавам, опрасквам) до решението на S B.

[S.B.]

Има изпуснати 2 корена, вероятно при преписването на решението, но те са тук някъде наблизо и сами ще се наместят на правилните места (защото са квадратни, а не кръгови, и не могат да се търкалят накъдето им падне много много). Моята идея от прима виста беше подобна, но малко по-тромава преди да се упрости до решението на S B.

Благодарение на зоркото око на колегата Румен Симеонов,аз открих двата "квадратни" , а не "кръгови " корена:
$$\sqrt{r} = \frac{ \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } }{ \sqrt{ R_{1 } } + \sqrt{ R_{2 } } } \Rightarrow r = \frac{ R_{1 } R_{2 } }{ R_{1 }+ 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } + R_{2 } }$$
Подобни грешки се случват - който не пише той не греши!
Отделен въпрос е ,че в задачата се търси $r$ , а не [tex]\frac{1}{ \sqrt{r} }[/tex]
Но кой каквото е искал да напише го е написал,а не го е оставил на въображението на останалите колеги.

[Румен Симеонов]

Има изпуснати 2 корена, вероятно при преписването на решението, но те са тук някъде наблизо и сами ще се наместят на правилните места (защото са квадратни, а не кръгови, и не могат да се търкалят накъдето им падне много много). Моята идея от прима виста беше подобна, но малко по-тромава преди да се упрости до решението на S B.

Благодарение на зоркото око на колегата Румен Симеонов,аз открих двата "квадратни" , а не "кръгови " корена:
$$\sqrt{r} = \frac{ \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } }{ \sqrt{ R_{1 } } + \sqrt{ R_{2 } } } \Rightarrow r = \frac{ R_{1 } R_{2 } }{ R_{1 }+ 2 \sqrt{ R_{1 } R_{2 } } + R_{2 } }$$
Подобни грешки се случват - който не пише той не греши!
Отделен въпрос е ,че в задачата се търси $r$ , а не [tex]\frac{1}{ \sqrt{r} }[/tex]
Но кой каквото е искал да напише го е написал,а не го е оставил на въображението на останалите колеги.

$r = \left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}\right)^{-2}$

Впрочем, на мен ми се струва, че степеннен израз е по-удобен за логаритмуване отколкото дробен израз. Признавам, затруднявам се да обясня на учениците си в какво се състои задължението отговорът да се представя във вид удобен за логаритмуване. А може би вече е отпаднало това задължение. Какво да се прави, аз дори не знам каква е дефиницията за триъгълник в училищната математика и няма учител който да ми каже в кой учебник на коя страница да я намеря.
Освен това, от горния знаменател:
$R_{1 }+ 2 \sqrt{ R_{1} R_{2 } } + R_{2 }$
по-удобен за логаритмуване е изразът:
$\left(\sqrt{R_{1 }} + \sqrt{R_{2 }}\right)^2.$
Още един приятен израз за отговора:
$r = \left((R_1)^{-2^{-1}}+(R_2)^{-2^{-1}}\right)^{-2}.$