Равностранен триъгълник и три окръжности

[KOPMOPAH]

Равностранен триъгълник и три окръжности.png (21.99 KiB) Прегледано 1726 пъти

През произволна вътрешна точка $P$ за равностранния триъгълник $\triangle ABC$ са прекарани правите $AP$, $BP$ и $CP$. Те пресичат страните $BC$, $AC$ и $AB$ съответно в точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. През точките $\{A,O,A_1\}$, $\{B,O,B_1\}$ и $\{C,O,C_1\}$, където $O$ е центърът на триъгълника, са прекарани окръжности.

Да се докаже, че трите окръжности минават през друга обща точка.

[ptj]

Трите центъра трябва да лежат на симетралата на [tex]ОЕ[/tex]. А съм почти сигурен, че решението е свързано със симетрия, при която О е симетрична на Е. Идеята е да намерим такава симетрия, при което новия център на равносттрания триъгълник ще се яви точка [tex]Е[/tex]. Освен това поне на чертежа изглежда, че средата на [tex]ОЕ[/tex] лежи на [tex]AA_1[/tex]....

[S.B.]

Прикачения файл Равностранен триъгълник и три окръжности.png вече е недостъпен

През произволна вътрешна точка $P$ за равностранния триъгълник $\triangle ABC$ са прекарани правите $AP$, $BP$ и $CP$. Те пресичат страните $BC$, $AC$ и $AB$ съответно в точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. През точките $\{A,O,A_1\}$, $\{B,O,B_1\}$ и $\{C,O,C_1\}$, където $O$ е центърът на триъгълника, са прекарани окръжности.

Да се докаже, че трите окръжности минават през друга обща точка.

Без заглавие - 2024-01-11T143749.377.png (418.9 KiB) Прегледано 1639 пъти

Около [tex]\triangle OA A_{1 }[/tex] е описана окръжност [tex]k_{a }( O_{a } ; R_{a }= O O_{a })[/tex] - СИНЯ
Около [tex]\triangle OB B_{1 }[/tex] е описана окръжност [tex]k_{b }( O_{b } ; R_{b }= O O_{b })[/tex] - ЗЕЛЕНА
Около [tex]\triangle OC C_{1 }[/tex] е описана окръжност [tex]k_{c }( O_{c } ; R_{c }= O O_{c })[/tex] - ВИОЛЕТОВА

Разглеждам [tex]\triangle O_{a } O_{b }O[/tex]:
От теоремата за неравенството на страните в триъгълника имаме:
[tex]|O O_{a } - O O_{b }| < O_{a } O_{b } < OO_{a } + O O_{b } \Leftrightarrow | R_{a } - R_{b }| < O_{a } O_{b } < R_{a } + R_{b }[/tex]
[tex]\Rightarrow k_{a }[/tex] и [tex]k_{b }[/tex] имат 2 общи точки.
[tex]k_{a } \cap k_{b } = O[/tex] според условието [tex]\Rightarrow[/tex] съществува и втора точка $M$ , такава , че [tex]k_{a } \cap k_{b } = M[/tex]
Точка $M$ е симетрична на точка $O$ относно централата [tex]O_{a } O_{b }[/tex] на окръжностите [tex]k_{a }[/tex] и [tex]k_{b }[/tex].
[tex]\Rightarrow O_{b } O_{a } \bot OM , O_{b }M = O_{b }O , O_{a }M = O_{a }O, \angle M O_{b } O_{a } = \angle O O_{b } O_{a }[/tex]
$$\Rightarrow S_{OM } = O_{b } O_{a } $$

Разглеждам [tex]\triangle O_{b } O_{c }O[/tex] и аналогично получавам:
[tex]|R_{c } - R _{b } | < O_{b } O_{c } < R_{c }+ R_{b } \Rightarrow k_{c }[/tex] и [tex]k_{b }[/tex] имат втора обща точка , която е симетрична на т. $O$ относно централата [tex]O_{b } O_{c }[/tex]
[tex]\triangle O_{c } O_{b }M \cong \triangle O_{c } O_{b } O[/tex] ( по първи признак)[tex]\Rightarrow O_{c }M = O_{c }O \Rightarrow O_{c } \in S_{OM }[/tex]
[tex]S_{OM }[/tex] е геометричното място на центровете на окръжностите ,минаващи през точките $M$ и $O$
[tex]\Rightarrow k_{a }, k_{b }, k_{c }[/tex] освен общата точка $O$ имат и втора обща точка $M$

[ptj]

Колежке,

Прегледайте си моля последната част! Не разбирам защо решихте, че втората двойка окръжности ще имат втора пресечена точка, съвпадаща с [tex]M[/tex].
(Не може да използвате, че трите центъра лежат на една права, защото точно това трябва да се докаже.)


Изобщо в доказатеството си никъде, не използвате, че [tex]AA_1,BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една точка. Последното е съществено.

От двата чертежа виждам две възможни предположения:

1.) Възможно е [tex]B_1[/tex] да е среда на дъгата [tex]OB_1M[/tex].

2.) Пресеченaта точка на [tex]ОМ[/tex] и [tex]О_1О_2[/tex] лежи на [tex]AA_1[/tex].

Ако успеете да докажете кое да е от тях, вероятно ще сте решили задачата.

[S.B.]

Колежке,

Прегледайте си моля последната част! Не разбирам защо решихте, че втората двойка окръжности ще имат втора пресечена точка, съвпадаща с [tex]M[/tex].
(Не може да използвате, че трите центъра лежат на една права, защото точно това трябва да се докаже.)


Изобщо в доказатеството си никъде, не използвате, че [tex]AA_1,BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една точка. Последното е съществено.

От двата чертежа виждам две възможни предположения:

1.) Възможно е [tex]B_1[/tex] да е среда на дъгата [tex]OB_1M[/tex].

2.) Пресеченaта точка на [tex]ОМ[/tex] и [tex]О_1О_2[/tex] лежи на [tex]AA_1[/tex].

Ако успеете да докажете кое да е от тях, вероятно ще сте решили задачата.

Скъпи,колега,
Да,знам,че е така!С това решение целях да Ви провокирам!Вие много пишете и давате акъл,но Ваше решение до сега не сме видяли.
Ето,предоставям Ви чертеж,за да не говорите "наизуст" както винаги,имате страхотни идеи,така,че действайте!
Очаквам Вашето решение!
P.S. Колкото до "двата чертежа" - аз съм представила само един,но Вие спокойно можете да представите Ваш чертеж!

[math10.com]

Нещо не е наред с условието на задачата.
Как би изглеждал чертежа ако [tex]P \equiv O[/tex]?
Или пък [tex]P \in s_a ; P \in s_b ; P \in s_c[/tex](симетралите на страните на триъгълника)

[KOPMOPAH]

Ако $P\equiv O$ задачата няма смисъл, защото трите окръжности се израждат в прави. Ако $P\in$ някоя симетрала, то само едната окръжност се изражда в права, съвпадаща с въпросната симетрала. Това не пречи двете окръжности и тази права да се пресичат пак в една втора точка $E\ne O$.