Безкрайна сума

[KOPMOPAH]

Попаднах на интересна задача:
$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\sin kx}{k!}=?$$

[grav]

Предполагам, че има нещо хитро, но с груба сила търсената сума е имагинерната част на
[tex]y=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikx}}{k!}[/tex]
след диефернциране и преобразуване получаваме
[tex]y'=\sum_{k=1}^\infty ik\frac{e^{ikx}}{k!}=\sum_{k=1}^\infty i\frac{e^{ikx}}{(k-1)!}=ie^{ix}\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{i(k-1)x}}{(k-1)!}=ie^{ix}\sum_{k=0}^\infty \frac{e^{ikx}}{k-1!}=ie^{ix}(1+y)[/tex]

Уравнението [tex]y'=ie^{ix}(1+y)[/tex] с [tex]y(0)=e[/tex] се решава и имагинерната част е [tex]\frac{e+1}{e}\sin(\sin(x))e^{\cos(x)}[/tex]

[nikola.topalov]

Нападам и аз с комплексни числа. Нека $$f(x):=\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{\sin(kx)}{k!}=\dfrac{1}{2i}\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{e^{ikx}}{k!}-\dfrac{1}{2i}\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{e^{-ikx}}{k!}
$$ Диференцираме и получаваме, че $$\dfrac{df}{dx}(x)=\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{e^{ikx}}{(k-1)!}+\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{e^{-ikx}}{(k-1)!}=\dfrac{1}{2}e^{e^{ix}+ix}+\dfrac{1}{2}e^{e^{-ix}-ix}$$ По-нататък, интегрираме и двете страни и намираме $$\int\dfrac{df}{dx}(x) dx=\dfrac{i}{2}e^{e^{-ix}}-\dfrac{i}{2}e^{e^{ix}}+C$$ За константата имаме, че [tex]C=0[/tex], тъй като [tex]f(0)=0[/tex] и оттук окончателно $$f(x)=\dfrac{i}{2}e^{e^{-ix}}-\dfrac{i}{2}e^{e^{ix}}=\sin(\sin(x))e^{\cos(x)}$$

[pipi langstrump]

$$\sum_{k=1}^{+\infty }\dfrac{e^{ikx}}{k!}$$

Няма смисъл от диференциране, това си е точно $e^{e^{ix}}$ ако го загледаш по-внимателно.

[Румен Симеонов]

Попаднах на интересна задача:
$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\sin kx}{k!}=?$$

Най-краткото РЕШЕНИЕ:

От
$sin(kx)=Im(e^{ixk})=Im((e^{ix})^k)$,
в съчетание и с
$e^z=\sum_{k=0}^{\infty} z^k/k!$,
следва, че отговорът е
$e^{cos(x)}sin(sin(x))$.

E, разбира се, използвахме и по-общото:
$e^z=e^{Re(z)}(cos(Im(z))+isin(Im(z)))$
и то не само за $z=ikx$, но също и за $z=e^{ix}$,
но всичко това са подробности ,,за наум", така, че има и по-кратко (без диференциално уравнение, без диференциране, без интегриране - даже и наум не ги използваме) - само с използване на дефиниция за $e^z$ (а и на някои други дефиниции, използвани наум, от които следва, и използваме, също и, че $e^{ak}=(e^a)^k$, а и, че $e^{a+b}=e^ae^b$,
РЕШЕНИЕ:

Очевидно, отговорът е: $e^{cos(x)}sin(sin(x))$.

Впрочем, все още се търси каква е училищната дефиниция за ,,триъгълник" и в кой учебник на коя страница е дадена.

[grav]

Попаднах на интересна задача:
$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\sin kx}{k!}=?$$

Най-краткото РЕШЕНИЕ:

От
$sin(kx)=Im(e^{ixk})=Im((e^{ix})^k)$,
в съчетание и с
$e^z=\sum_{k=0}^{\infty} z^k/k!$,
следва, че отговорът е
$e^{cos(x)}sin(sin(x))$.

E, разбира се, използвахме и по-общото:
$e^z=e^{Re(z)}(cos(Im(z))+isin(Im(z)))$
и то не само за $z=ikx$, но също и за $z=e^{ix}$,
но всичко това са подробности ,,за наум", така, че има и по-кратко (без диференциално уравнение, без диференциране, без интегриране - даже и наум не ги използваме) - само с използване на дефиниция за $e^z$ (а и на някои други дефиниции, използвани наум, от които следва, и използваме, също и, че $e^{ak}=(e^a)^k$, а и, че $e^{a+b}=e^ae^b$,
РЕШЕНИЕ:

Очевидно, отговорът е: $e^{cos(x)}sin(sin(x))$.

Впрочем, все още се търси каква е училищната дефиниция за ,,триъгълник" и в кой учебник на коя страница е дадена.

Това е излишно. Всичкото стана ясно след отговора на пипи

[Румен Симеонов]

...
Очевидно, отговорът е: $e^{cos(x)}sin(sin(x))$.

Впрочем, все още се търси каква е училищната дефиниция за ,,триъгълник" и в кой учебник на коя страница е дадена.

Това е излишно. Всичкото стана ясно след отговора на пипи

Не е излишно, например понеже, grav по този начин беше предизвикан да уточни, че в неговото решение е записал излишното $\frac{e+1}{e}$.

Освен това, все още нямаме дефиниция за ,,триъгълник", което изглежда и донякъде се дължи и на стремежа и на grav да не се пишат излишни неща (освен ако са написаани от него самия, разбира се).

[grav]

Впрочем, все още се търси каква е училищната дефиниция за ,,триъгълник" и в кой учебник на коя страница е дадена.

Това колко пъти ще го повтаряш. Отвори отделна тема и кажи от какво точно си недоволен, защо начинът по който се дефинира триъгълник в училище не ти харесва.

[Румен Симеонов]

Впрочем, все още се търси каква е училищната дефиниция за ,,триъгълник" и в кой учебник на коя страница е дадена.

Това колко пъти ще го повтаряш. Отвори отделна тема и кажи от какво точно си недоволен, защо начинът по който се дефинира триъгълник в училище не ти харесва.

Не бе, не съм казал, че не ми харесва, а просто, честно, не знам как и къде и дали въобще в училище се дефинира триъгълниик. Ако знаеш, моля цитирай страница от училищен учебник и текст, с който се дефинира триъгълник и изрично ще ти благодаря още веднъж. Интересува ме:
(1) дали триъгълник се дефинира като съвкухност от точки (в една раввнината),
(2) дали тези точки съдържат точките от вътрешността на триъгълника,
(3) дали съдържат точките от вътрешностите на страните му,
(4) дали съдържат 3-те точкити, които са му върхове
или пък (може би)
(5) дали триъгълникът се състои от 3 точки (нележащи на 1 права, разбира се) и от 3-те отсечки свързващи тези 3 точки [без или със (?) вътрешността на тази ,,периферия" оформена от 3 точкки и 3 отсечки]?
(6) Един триъгълник само от точки ли се състои или има (и) други видове елементи , които му принадлежат?. Наистина ли има за елементи точки. Има ли въобще елементи принадлежащи на идин триъгълник и колко вида такива елементи има - точки(?), отсечки(?) ..., или всеки триъгълник е нещо цяло, което няма елементи, които да му принадлежат?
(7) Въобще, колко точки има в 1 триъгълни (ако сред елементите на триъгълника има и точки, като негови елементи), колко отсечки има в един триъгълник, ако сред елементите на триъгълника има и отсечки, като негови елементи).
(8) Дали въобще на учениците се дефинира ,,триъгълнк" като съвкупност от някакви елементи или пък учениците само се приучават на принципа ,,прави каквото правя и аз" да боравят с изрази съдържащи думата триъгълник, като например: ,,върховете на триъгълника", ,,страните на триъгълника", ,,периметъра на триъгълника", ,,лицето на триъгълника", на някои от които изрази наякакси някъде се дава някаква дефиниция нацяло - за значението на израза, без (?) да е дадена отделна дефиниция за самостоятелното значение на думата ,триъгълник" участваща в този израз ?
ПП. Преиначаваш мои кратки въпроси, провокираш ме да ги обяснявам по-подробно, а после питаш защо пиша толкова дълги текстове! Това именно преиначаване и провокиране е малко неприлично даже, според мен и за мое лично ползване на тази дума. Бъди здрав!

[grav]

Не бе, не съм казал, че не ми харесва, а просто, честно, не знам как и къде и дали въобще в училище се дефинира триъгълниик. Ако знаеш, моля цитирай страница от училищен учебник и текст, с който се дефинира триъгълник и изрично ще ти благодаря още веднъж. Интересува ме:
(1) дали триъгълник се дефинира като съвкухност от точки (в една раввнината),
(2) дали тези точки съдържат точките от вътрешността на триъгълника,
(3) дали съдържат точките от вътрешностите на страните му,
(4) дали съдържат 3-те точкити, които са му върхове
или пък (може би)
(5) дали триъгълникът се състои от 3 точки (нележащи на 1 права, разбира се) и от 3-те отсечки свързващи тези 3 точки [без или със (?) вътрешността на тази ,,периферия" оформена от 3 точкки и 3 отсечки]?
(6) Един триъгълник само от точки ли се състои или има (и) други видове елементи , които му принадлежат?. Наистина ли има за елементи точки. Има ли въобще елементи принадлежащи на идин триъгълник и колко вида такива елементи има - точки(?), отсечки(?) ..., или всеки триъгълник е нещо цяло, което няма елементи, които да му принадлежат?
(7) Въобще, колко точки има в 1 триъгълни (ако сред елементите на триъгълника има и точки, като негови елементи), колко отсечки има в един триъгълник, ако сред елементите на триъгълника има и отсечки, като негови елементи).
(8) Дали въобще на учениците се дефинира ,,триъгълнк" като съвкупност от някакви елементи или пък учениците само се приучават на принципа ,,прави каквото правя и аз" да боравят с изрази съдържащи думата триъгълник, като например: ,,върховете на триъгълника", ,,страните на триъгълника", ,,периметъра на триъгълника", ,,лицето на триъгълника", на някои от които изрази наякакси някъде се дава някаква дефиниция нацяло - за значението на израза, без (?) да е дадена отделна дефиниция за самостоятелното значение на думата ,триъгълник" участваща в този израз ?
ПП. Преиначаваш мои кратки въпроси, провокираш ме да ги обяснявам по-подробно, а после питаш защо пиша толкова дълги текстове! Това именно преиначаване и провокиране е малко неприлично даже, според мен и за мое лично ползване на тази дума. Бъди здрав!

Каква е твоята дефиниция за триъгълник?

[ammornil]

Ако правилно помня, определения за триъгълник и правоъгълник се дават във втори клас, материалът по математика на тема Геометрични фигури и тела, цел на опознаване: "Триъгълник, правоъгълник и квадрат. Определяне на видовете триъгълници според страните им. Определяне на елементите на правоъгълника: дължина, ширина, диагонали."
Определението, което се дава във втори клас за триъгълник (пак по памет) е 'геометрична фигура с три върха и три страни, които свързват върховете'. Може би, ако има във форума колеги преподаващи мамтематика сега в начален курс, ще ме поправят ако греша.

[Румен Симеонов]

Каква е твоята дефиниция за триъгълник?

Нямам моя училищна дефиниция за триъгълник. Когато преподавах Диференциална топология, кой знае защо, правех един увод (а може би това беше в отделен курс - по Геометрия и топология) за симплициални комплекси съставени от симплекси . В размерност 2 симплексите са триъгълници. В тази теория триътълниците са 2-мерни същества и не се състоят само от върхове и страни. Това обаче не е училищна математика. Намерих един учебник на Погорелов по училищна геометрия. По спомен, в него дефиницията за триъгълник е 3 точки и точките върху свързващите ги отсечки (май имаше изискване първоначолните 3 точки да не лежат на една права). За българското училище не знам има ли дефиниция или дефиниции и в кои класове, а това много ме интересува.

[peyo]

Каква е твоята дефиниция за триъгълник?

Нямам моя училищна дефиниция за триъгълник. Когато преподавах Диференциална топология, кой знае защо, правех един увод (а може би това беше в отделен курс - по Геометрия и топология) за симплициални комплекси съставени от симплекси . В размерност 2 симплексите са триъгълници. В тази теория триътълниците са 2-мерни същества и не се състоят само от върхове и страни. Това обаче не е училищна математика. Намерих един учебник на Погорелов по училищна геометрия. По спомен, в него дефиницията за триъгълник е 3 точки и точките върху свързващите ги отсечки (май имаше изискване първоначолните 3 точки да не лежат на една права). За българското училище не знам има ли дефиниция или дефиниции и в кои класове, а това много ме интересува.

Триъгълника е симплекс от 2-ра размерност? Доколкото си помням, точно тази дефиниция ни преподаваха и на нас в училище във втори клас.

[Румен Симеонов]

Триъгълника е симплекс от 2-ра размерност? Доколкото си помням, точно тази дефиниция ни преподаваха и на нас в училище във втори клас.

Браво, много поучително и много смешно, само дето си в (историческо) противоречие с ammornil, освен ако сте учили по различни учебници за втори клас. И двамата (а и аз) се изказвате по спомени, но цитирана страница с дефиниция няма. Започвам да разбирам, че в училище ,,елемент" на триъгълник можело да бъде и неговото лице, което е само едно (външно за триъгълника) число СЪПОСТАВЕНО на триъгълника. А аз питах какви видове елементи има (вътре в) триъгълника и очаквах, че това ще са точки най-вече (а може би и отсечки, например). Май трябва първо да изясним какво е това отсечка (дали е едномерен симплекс или е нещо друго), според училищната геометрия. Някой знае ли къде (на коя страница в кой учебник) се дефинира термина ,,отсечка'? Отсечката има ли елементи различни от точки, например дължината й?

[Румен Симеонов]

Някой знае ли къде (на коя страница в кой учебник) се дефинира термина ,,отсечка'? Отсечката има ли елементи различни от точки, например дължината й?

Не е училищна дефиниция, но нека да изкажа мнение. Отсечката би трябвало да е крайната част от трите части които остават от една безкрайна права, след като тя се отсече на две места с безкрайно остра брадва. Трудният въпрос е дали отсечката има крайни точки които й принадлежат? Аз ,,гласувам" (сега) за това, че отсечката има крайни точки които й принадлежат? Така си мисля защото си представям, че брадвата когато разсича се вмъква между точките на правата и само ги разделя без да избутва нито една точка навън от двете части които остават (това би направила една тъпа брадва, която не е безкрайно остра). С безспокойство установявам, обаче, че такава гледна точка, като че ли предполага, че правата се състои от (малки лъскави идеално гладки и хлъзгави железни) топчета поставени едно до друго (краен брой топчета на крайно разстоятие), с което, обаче, не съм съгласен, защото не се връзва с представата ми как са подредени точките в една права и, че на крайно разстояние има безкрайно много точки на правата.

[ammornil]

Не че не оценявам безмислието в което се превръща тази нишка от постове, но явно и аз съм идиот като никой друг.

"ТОЧКА" е математически модел, който по дефиниция няма размерност, но представлява позиция в координатна система (елемент на поле). Аз не съм математик, но дори в техническия университет ни обясняваха, че това че точката няма размери и площ, но множествата от точки имат, не е противоречие, а част от модела, където съотнесено към единичните вектори на координатната система, точката моделира безкрайно малък участък в пространството (затова всяка права съдържа бекраен брой точки и числовата ос може да моделира всички реални числа независимо от избраната точност на десетичната мантиса). Отсечка в геометрията е винаги затворен интервал, тоест крайните точки се включват в анализа. Представете си кой да е фрактал, който се повтаря в себе си до безкрайност. Това е точка, която се състои от точки, които на свой ред се състоят от точки и делението не престава с нарастване на мащаба. Това е идеален, а не реален модел на пространствата.

[Румен Симеонов]

Отсечка в геометрията е винаги затворен интервал, тоест крайните точки се включват в анализа. Представете си кой да е фрактал, който .... Това е идеален, а не реален модел на пространствата.

Точно така, и аз продължавам да смятам, че отсечката включва две свои крайни точки. Освен това, напълно се съгласявам, че всичко това са модели с различна степен на полза и приложимост. Често те първо се развиват от любопитството на някои математици (нямам предвид себе си) първоначално обявявани за идиоти а впоследствие признавани за гении, понякога. Заблуден от оценката на историята на математиката и матемаатици като Кантор, например,, продължавам да проявявам любопинство дали може да бъде изграден модел на права, напълно подобен на сегашния математически модел на права, но с тази разлика, че да са възможни всякакви отсичания разделящи правата на два безкрайни отворени интервала всеки несъдържащи крайни точки, които два интервала в своето обединение да изчерпват цялата права? Ако се изгради такъв модел ще се запитаме и дали пък той няма да се окаже по-съвършен и малко по--малко налудничав от сегашния, в който безкрайната тънкост на точките изглежда подозрителна и противоречива за някои хора при първоначално запознаване с модела. Например, след като точките са безкрайно тънки не следва ли че крайните точки на отсечките всъщност ги няма (защото са безкрайно тънки)?

[ammornil]

... в който безкрайната тънкост на точките изглежда подозрителна и противоречива за някои хора при първоначално запознаване с модела. Например, след като точките са безкрайно тънки не следва ли че крайните точки на отсечките всъщност ги няма (защото са безкрайно тънки)?

Бъркате очевидното с вярното. Това, че нещо е незабележимо не го прави несъществуващо. Аз не виждам вируси и бактерии, но те съществуват. Не виждам индивидуални фотони електромагнитно лъчение, но и те съществуват. Следващата аналогия е груба, но мисля че е приложима: не виждам реалните точки на числовата ос, но те също са там.

[Румен Симеонов]

... в който безкрайната тънкост на точките изглежда подозрителна и противоречива за някои хора при първоначално запознаване с модела. Например, след като точките са безкрайно тънки не следва ли че крайните точки на отсечките всъщност ги няма (защото са безкрайно тънки)?

Бъркате очевидното с вярното. Това, че нещо е незабележимо не го прави несъществуващо. Аз не виждам вируси и бактерии, но те съществуват. Не виждам индивидуални фотони електромагнитно лъчение, но и те съществуват. Следващата аналогия е груба, но мисля че е приложима: не виждам реалните точки на числовата ос, но те също са там.

Съгласен съм, при сегашния модел. Все пак, вашите разсъждения не са пречка за изграждане и на друг модел. Ще се опитам да го скицирам някъде. Благодаря за компанията!

[grav]

Аз все още не разбирам каква е мотивацията за този въпрос! Има ли значение каква точно е дефиниция, дали е еднаква във всички учебници, дали всички учители изпозлват една и съща или различни дефиниции? И нужно ли е да има толкова много формализъм на това ниво за нещо което е достатъчно ясно интуитивно?

[Румен Симеонов]

Аз все още не разбирам каква е мотивацията за този въпрос! Има ли значение каква точно е дефиниция, дали е еднаква във всички учебници, дали всички учители изпозлват една и съща или различни дефиниции? И нужно ли е да има толкова много формализъм на това ниво за нещо което е достатъчно ясно интуитивно?

Да, и аз започнам да се възхищавам, на това, че хората се разбиратт дори без дефиниции. Е, все пак, когато се окажат в спор дефинициите, а не авторитетите ще са меродавни. Например, ако триъгълника се състои от върхове и от (точките по) отсечките свързващи върховете, аз твърдя, че неговото лице е винаги нула. За да ме обори някой ще трябва да признае, че триъгълникът съдържа и вътрешни точки - тези по отсечки с краища върху периферията му (без върховете и точките върху страните му т.е. - без самите периферни точки). Интересно е също колко двусмислено може да бъде понятието за собственост. Например, има ли лице (ненулево) триъгълтикът който се дефинира като точките по отсечките свързващи негови върхове. ,,Негово" ли е лицето на фигурата заградена от страните на триъгълника? Лицето на едномерна фигура (например - обединение на отсечки) е нула, но пък има практика величини които само са СЪПОСТАВЕНИ на нещо да се считат за ,,НЕГОВИ" - най-малкото езиковият идраз е под формата на собстненост - ,,негов", "има". Например, казва се, че всеки триъгълник си има ъгли. Но как така? Нали един триъгълник, както и да се дефинира, се състои само от точки. Е как тогава ъгли се оказват точки, щом като са ,,елементи" на триъгълника?