Правоъгълен равнобедрен триъгълник

[nikola.topalov]

Точката [tex]P[/tex] е среда на страната [tex]BC[/tex] на равнобедрения правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с прав ъгъл при върха [tex]C[/tex]. Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] от страната [tex]AB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] са такива, че [tex]\measuredangle MPN=45^\circ[/tex], като [tex]M[/tex] е между [tex]A[/tex] и [tex]N[/tex]. Да се намери лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], при условие че [tex]AM=3[/tex] и [tex]NB=4[/tex]. Да се докаже, че [tex]\measuredangle CMB=\measuredangle NPB[/tex].

[Евва]

AC=BC= 6[tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex] = 36 ?

[Евва]

Нека т.Е е среда на отсечката АВ .
AC=ВС=2а=? MN=x=?
([tex]\triangle[/tex]АЕС -равнобедрен и правоъг.) [tex]АЕ^{2 }+ СЕ^{2 }= АС^{2 }[/tex] ;2[tex]АЕ^{2 } =АС^{2 }[/tex]
2([tex]\frac{х+7}{2} ) ^{2 }[/tex]=4[tex]а^{2 }[/tex] ; х=2[tex]\sqrt{2}[/tex].а-7 (1)

([tex]\triangle[/tex]АМС-cos T) [tex]CM^{2 }= AM^{2 } + AC^{2 } -2AM.AC.cos45 ^\circ[/tex]
[tex]CM^{2 } =9+4a^{2 } -12a. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] ; [tex]CM^{2 } =4a^{2 } -6 \sqrt{2}a+9[/tex] (2)
MP -медиана в [tex]\triangle[/tex]МВС [tex]МР^{2 } = \frac{2 МВ^{2 }+2 СМ^{2 } - ВС^{2 } }{4}[/tex] =[tex]\frac{2 (x+4)^{2 } +2(4 а^{2 }-6 \sqrt{2}а+9) -4 а^{2 } }{4}[/tex]
Получаваме [tex]МР^{2 } =5а^{2 } -9 \sqrt{2}а+9[/tex] (3)

[tex]\triangle[/tex]MBP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNP (1 признак)
[tex]\frac{MB}{MP} = \frac{MP}{MN}[/tex] ;[tex]\frac{x+4}{MP} = \frac{MP}{x}[/tex] ; [tex]MP^{2 }[/tex]=x(x+4)=[tex](2 \sqrt{2} a-7)(2\sqrt{2}a-3)[/tex] ... ...

[tex]MP^{2 }[/tex]=8[tex]a^{2 } -20 \sqrt{2}a+21[/tex] (4)
Приравняваме (4) и (3) и получаваме 3[tex]a^{2 }-11 \sqrt{2}a+12[/tex]=0 ; D=121.2-4.3.12 =98 =49.2
[tex]a_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{11 \sqrt{2} \pm 7\sqrt{2} }{6}[/tex] ; a=3[tex]\sqrt{2}[/tex] (5)
[tex]a_{2 } = \frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex] , тогава x=[tex]\frac{8}{3}[/tex]-7 <0 ;[tex]a_{2 }[/tex] отпада

[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{2a.2a}{2} =2 a^{2 }[/tex]=2.18 =36

Забелязваме ,че страните на [tex]\triangle[/tex]MBC и [tex]\triangle[/tex]NBP са пропорционални .
[tex]\frac{BC}{NB}= ? \frac{MB}{BP}[/tex] ; [tex]\frac{2a}{4}= ? \frac{x+4}{a}[/tex]

[tex]\frac{2.3 \sqrt{2} }{4} = ? \frac{5+4}{3 \sqrt{2} }[/tex] ; [tex]\frac{3 \sqrt{2} }{2} = ?\frac{3}{ \sqrt{2} }[/tex] ; [tex]\frac{3}{ \sqrt{2} }= \frac{3}{ \sqrt{2} }[/tex] да
[tex]\triangle[/tex]MBC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NBP (2 признак) 1.[tex]\angle[/tex]MBC=[tex]\angle[/tex]NBP , 2.[tex]\frac{BC}{NB} = \frac{MB}{BP}[/tex]
Следователно техните ъгли са равни [tex]\angle[/tex]CMB=[tex]\angle[/tex]NPB .