Задача за окръжности и хорди 9 клас

[rslavova]

Разстоянието между центровете на две окръжности е 5r, а радиусите им са съответно r и 7r. Хорда на по-голямата окръжност се допира до по-малката и се дели от допирната точка в отношение 1:6. Да се намери дължината на тази хорда.

[ammornil]

[tex][/tex]

[rslavova]

Благодаря зя чертежа, но не мога да намеря разстоянието от пресечната точка на хордата с диаметъра на голямата окръжност до точката, в която се допира до малката.

[S.B.]

Моля за помощ за следната задача:
Разстоянието между центровете на две окръжности е 5r, а радиусите им са съответно r и 7r. Хорда на по-голямата окръжност се допира до по-малката и се дели от допирната точка в отношение 1:6. Да се намери дължината на тази хорда.

Без заглавие - 2024-02-17T095516.589.png (230.16 KiB) Прегледано 1640 пъти

Дадени са кръжности [tex]k_{1 }( O_{1 },7r) , k_{2 }( O_{2 },r) , O_{1 } O_{2 } = 5r,AC[/tex] е хорда в [tex]k_{1 }[/tex]
[tex]AC \cap k_{2 } = T , AT: TC = 1:6[/tex]
$AB$ е диаметър на голямата окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] т.$A$ е външна точка за малката окръжност,$AB$ и $AC$ са съответно секуща и допирателна за малката окръжност.Точките $M$ и $N$ са пресечните точки на малката окръжност с $AB$
Лесно се изчислява,че щом [tex]O_{1 } O_{2 } = 5r ,AM = M O_{2 }= O_{2 }N = r[/tex]
От свойството на секуща и допирателна към окръжност от външна точка имаме:
[tex]AT^{2 } = AM.AN \Leftrightarrow x^{2 } = r.3r \Leftrightarrow x^{2 } = 3 r^{2 }[/tex]$$ \Rightarrow x = r \sqrt{3} $$
$$AC = 7x \Rightarrow AC = 7r \sqrt{3}$$

[peyo]

т.$A$ е външна точка за малката окръжност,$AB$ и $AC$ са съответно секуща и допирателна за малката окръжност.
...

Защо предполагаме, че в т. А се пресичат диаметъра и търсената хорда?
Ако това е дадено, задачата става много лесна. По Питагор:
$x^2 + r^2 = (2r)^2$
$x = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}$
$AC=7x = 7 r\sqrt{3}$

[S.B.]

За тази хорда нищо не е казано.Просто хорда и точка!Мога да я разположа както ми е удобно!
Колкото до Питагор - мисля,че още не са го учили.Задачата е за окръжност и прави.
А колкото до това това дали е лесна - лесна е, стига да знаеш кой материал засяга.
И при всички положения не е за раздел "Задача на седмицата"!

Скрит текст: покажи

Извинявам,че дописах отговора си, но преди малко писах от телефона

[rslavova]

Благодаря за решението!

[KOPMOPAH]

Окръжности и хорди.png (14.39 KiB) Прегледано 1582 пъти

Според мен има две хорди, едната е $7\sqrt 3r$, а другата е $\frac {7\sqrt{143}}6r$ (жълтото и зеленото). Доказва се с подобни триъгълници и Питагорова теорема, би трябвало в 9-ти клас да са ги учили.