Наглед просто тригонометрично уравнение

[KOPMOPAH]

$\frac 1{ \sin x} +\frac {3\sqrt 3} { \cos x}=8$

[pipi langstrump]

Полагаме sin x = t и уравнението става:

[tex]\pm \sqrt{\frac{27}{\ {1-t^2} }} = 8 - \frac{1}{t}[/tex]

Повдигаме на квадрат, преобразуваме и получаваме пълно уравнение от 4та степен, което има 2 рационални корена и може да се реши със схемата на Хорнер. След доста тромави сметки и проверки за вярност на получените решения, се получават следните корени:

$x_1 =\frac{\pi}{6} \pm 2k \pi$

$x_2 = -\arcsin{\frac{3 + \sqrt{13}}{8}} \pm 2k \pi$

$x_2 =\pi -\arcsin{\frac{-3 + \sqrt{13}}{8}} \pm 2k \pi$

Но сигурно има и по-елегантно решение.

[KOPMOPAH]

Има. Ще изчакам за още решения и ще го публикувам.

[Евва]

И аз чрез полагане получих
[tex]27b^{4 }-48 \sqrt{3}b^{3 }+36 b^{2 } +48 \sqrt{3}b-64[/tex]=0
Отново положих и коефицентите станаха цели числа .

[tex]3m^{4 } -16m^{3 } +12 m^{2 } +48m-64[/tex]=0
Чрез Хорнер намирам ,че 2 е двоен корен [tex]\Rightarrow[/tex] го разлагаме на [tex](m-2)^{2 }(3 m^{2 } -4m-16) =0[/tex]
Всички корени са [tex]m_{1 }[/tex]=2 ; [tex]m_{2 }[/tex]=2 ; [tex]m_{3 }[/tex]= [tex]\frac{2+2 \sqrt{13} }{3}[/tex] ;[tex]m_{4 } = \frac{2-2 \sqrt{13} }{3}[/tex]

Крайният ми отговор съвпада с този на pipi langstrump .

[peyo]

$\frac 1{ \sin x} +\frac {3\sqrt 3} { \cos x}=8$

sin и cos имат период 2 пи, значи и отговорите ще са такива.

Това $\sqrt 3$ е съмнително с това, че $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$, затова проверяваме дали е решение:

In [132]: u = 1/sin(x) +3*sqrt(3)/cos(x)-8

In [145]: u.subs(x, pi/6)
Out[145]: 0

Решение е. Значи тези всички са решения:
[tex]x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi[/tex]

Може да има и повече решения, но не съм измислил още как да ги намеря с отгатване.

[S.B.]

$\frac 1{ \sin x} +\frac {3\sqrt 3} { \cos x}=8$

[tex]\frac{1}{\sin x} = \frac{3 \sqrt{3} }{\cos x} \Leftrightarrow \cos x + 3 \sqrt{3} \sin x = 8\sin x \cos x \Leftrightarrow \cos x + 4 \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3}\sin x = 8\sin x \cos x[/tex]

[tex]\cos x - \sqrt{3} \sin x = 8 \sin x \cos x - 4 \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow \cos x - \sqrt{3} \sin x = 8 \sin x(\cos x - \frac{ \sqrt{3} }{2}) |. \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \cos x - \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x = 4 \sin x( \cos x - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \Leftrightarrow \sin 30 ^\circ \cos x - \cos 30 ^\circ \sin x = 4 \sin x( \cos x - \cos 30 ^\circ )[/tex]

[tex]\sin (30 ^\circ - x) = 4 \sin x( -2 \sin \frac{x - 30 ^\circ }{2} \ sin \frac{x + 30 ^\circ }{2}) \Leftrightarrow \sin 2(15 ^\circ - \frac{x}{2} ) = 8 \sin x \sin(15 ^\circ - \frac{x}{2}) \sin(15 ^\circ + \frac{x}{2})[/tex]

[tex]2 \sin(15 ^\circ - \frac{x}{2}) \cos(15 ^\circ - \frac{x}{2}) - 8 \sin x \sin( 15 ^\circ - \frac{x}{2}) \sin (15 ^\circ + \frac{x}{2}) = 0[/tex]

[tex]2\sin ( 15 ^\circ - \frac{x}{2}) [\cos(15 ^\circ - \frac{x}{2}) - 4 \sin x \sin(15 ^\circ + \frac{x}{2})] = 0[/tex]

[tex]2\sin(15 ^\circ - \frac{x}{2}) [ \cos(15 ^\circ - \frac{x}{2}) - 2 \cos (15 ^\circ - \frac{x}{2}) + 2\cos ( 15 ^\circ + \frac{3x}{2})] = 0[/tex]

[tex]2\sin(15 ^\circ - \frac{x}{2})[2\cos(15 ^\circ + \frac{3x}{2} )- \cos(15 ^\circ - \frac{x}{2})] = 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2\sin( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2}) [ \cos( \frac{ \pi }{12} + \frac{3x}{2}) - \cos( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2} )] = 0[/tex]

[tex]\sin( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2} ) = 0 \Rightarrow \cos( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2}) = \pm 1[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos ( \frac{ \pi }{12} + \frac{3x}{2} ) \pm 1 = 0[/tex]

Получавам:
[tex]\sin( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2}) = 0[/tex] и [tex]\cos ( \frac{ \pi }{12} + \frac{3x}{2}) = \pm \frac{1}{2}[/tex]

1)
[tex]\sin( \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow \frac{ \pi }{12} - \frac{x}{2} = k \pi[/tex]
$$\Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{6} - 2k \pi$$

2)
[tex]\cos( \frac{ \pi }{12}+ \frac{3x}{1}) = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ \pi }{12} + \displaystyle\frac{3x}{2} = \begin{cases} \displaystyle\frac{ \pi }{3} + 2k \pi \\ - \displaystyle\frac{ \pi }{3} + 2k \pi \end{cases}[/tex]

[tex]\frac{ \pi }{12} + \frac{3x}{2} = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi \Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{ \pi }{3} - \frac{ \pi }{12} + 2k \pi[/tex]
$$\Rightarrow x_{2 } = \frac{3 \pi }{8} + 3k \pi $$
[tex]\frac{ \pi }{12} + \frac{3x}{2} = - \frac{ \pi }{3} + 2k \pi[/tex]
$$\Rightarrow x_{3 } = - \frac{5 \pi }{8} + 3k \pi $$

3)
[tex]\cos( \frac{ \pi }{12} + \frac{2x}{3}) = - \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ \pi }{12} + \displaystyle\frac{2x}{3} = \begin{cases} \displaystyle\frac{2 \pi }{3} + 2k \pi \\ - \displaystyle\frac{2 \pi }{3} + 2k \pi \end{cases}[/tex]

$$\Rightarrow x_{4 } = \frac{7 \pi }{8} + 3k \pi , x_{5 } = - \frac{9 \pi }{8} + 3k \pi $$

Скрит текст: покажи

След толкова много писане, дано не съм оплела конците някъде!

[peyo]

Я да го видим това уравнение колко корена има...

Код: Избери целия код

import numpy as np
import pylab as plt
import math

xs = np.arange(-2*math.pi,2*math.pi,0.0001)
f = lambda x: 1/np.sin(x) +3*np.sqrt(3)/np.cos(x)-8
ys = f(xs)
plt.plot(xs,ys,".")
plt.plot([-2*math.pi,2*math.pi],[0,0])
plt.ylim([-2,2])
plt.show()

Figure_123523235.png (15.2 KiB) Прегледано 311 пъти

[pipi langstrump]

Скрит текст: покажи

След толкова много писане, дано не съм оплела конците някъде!

След толкова много писане е редно да се отдели и малко време да проверка на получените резултати. Проверката показва, че с изключение на първия, всички други са грешни.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Извинявам се за забавянето .

Положих a= [tex]\frac{1}{sinx}[/tex] и b=[tex]\frac{1}{cosx}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a+3 \sqrt{3}b = 8 \\ (\frac{1}{a} )^{2 } +( \frac{1}{b}) ^{2 } = 1 \end{array}[/tex]

Заместваме и опростяваме , получих [tex]27b^{4 } -48 \sqrt{3} b^{3 }+36 b^{2 } +48 \sqrt{3}b -64[/tex]=0
Полагам [tex]\sqrt{3}[/tex]b =m
[tex]3m^{4 } -16m^{3 } +12 m^{2 } +48m -64=0[/tex]
По Хорнер 2 e двоен корен и разлагам [tex](m-2)^{2 }(3 m^{2 }-4m-16)=0[/tex]
[tex]m_{1 }[/tex]=2 , [tex]m_{2 }= \frac{2+2 \sqrt{13} }{3} , m_{3 } =\frac{2-2 \sqrt{13} }{3}[/tex]

[tex]b_{1 }=\frac{2}{ \sqrt{3} }[/tex] , [tex]b_{2,3 } = \frac{2 \pm2 \sqrt{13} }{3 \sqrt{3} }[/tex]

Получихме [tex]\frac{1}{cosx} = \frac{2}{ \sqrt{3} }[/tex] ,или [tex]\frac{1}{cosx} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13} }{3 \sqrt{3} }[/tex]
cosx=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] , или cosx=[tex]\frac{ \sqrt{39}- \sqrt{3} }{8}[/tex] , или cosx= [tex]\frac{ \sqrt{3}+ \sqrt{39} }{-8}[/tex]

[tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] , sinx=[tex]\sqrt{ ( \frac{3+ \sqrt{13} }{8} )^{2 } }[/tex] ,sinx=[tex]\sqrt{ (\frac{3- \sqrt{13} }{8}) ^{2 } }[/tex]

Скрит текст: покажи

Тук ме затруднява оформянето на крайния отговор .

[Евва]

Да зпочнем от правоъгълен тр-к АВС ([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex]) ,катети a,b и хипотенуза c , нека [tex]\angle[/tex]ВАС=х .
Уравнението става [tex]\frac{1}{ \frac{a}{c} } +\frac{3 \sqrt{3} }{ \frac{b}{c} }[/tex]=8
[tex]\begin{array}{|l} bc+ac3 \sqrt{3} = 8ab \\ a^{2 }+ b^{2 } = c^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} b = \frac{ac3 \sqrt{3} }{8a-c} \\ a^{2 } + b^{2 }- c^{2 } = 0 \end{array}[/tex]

[tex]a^{2 } (8a-c)^{2 }+27 a^{2 } c^{2 } - c^{2 } (8a-c)^{2 }[/tex]=0
... ... ...
[tex]64a^{4 }- c^{4 } -16 a^{3 }c+16a c^{3 } -36a^{2 } c^{2 }[/tex]=0 |:( -[tex]a^{4 }[/tex]) [tex]\ne[/tex]0

[tex]( \frac{c}{a}) ^{4 }-16 ( \frac{c}{a}) ^{3 } +36 (\frac{c}{a}) ^{2 }+16 (\frac{c}{a})-64 =0[/tex]
Чрез Хорнер разлагаме : [tex]( \frac{c}{a}-2) ^{2 }[ ( \frac{c}{a}) ^{2 } -12 (\frac{c}{a} )-16 ]=0[/tex]

първи корен [tex]\frac{c}{a}[/tex]=2 т.е. а=[tex]\frac{с}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]х=30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{ \pi }{6}[/tex]

втори корен [tex]\frac{c}{a}= 6+2 \sqrt{13}[/tex] т.е. а=[tex]\frac{c( \sqrt{13}-3) }{8}[/tex] ... ... ...

трети корен [tex]\frac{c}{a} =6-2 \sqrt{13}[/tex] т.е. a=[tex]\frac{-c( \sqrt{13} +3)}{8}[/tex] ... ... ...

[stefanb]

полагам p=[tex]cos^{2 }60[/tex]/sinx
q=[tex]sin^{2 }60[/tex]/cosx
уравнението става
pcos60+qcos60=1
оттук p=2-[tex]\sqrt{3}[/tex]q
psinx+qsinx=1
(2-[tex]\sqrt{3}[/tex]q)sinx+qcosx=1
2sinx-[tex]\sqrt{3}[/tex]qsinx+qcosx=1
qcosx=[tex]sin^{2 }60[/tex]
2sinx-[tex]\sqrt{3} sin^{2 }60[/tex]sinx/[tex]\sqrt{1-sin^{2 }x }[/tex]+[tex]sin^{2 }60[/tex]=1
до тук можеше и по- кратко, но така ми хареса
полагам sinx=y
-1[tex]\angle[/tex]y[tex]\angle[/tex]1
3[tex]\sqrt{3}[/tex]y/(4[tex]\sqrt{1- y^{2 } }[/tex])=2y-1/4
повдигам на квадрат и стигам до
64[tex]y^{4 }[/tex]-16[tex]y^{3 }[/tex]-36[tex]y^{2 }[/tex]+16y-1=0
вече разбрахме, че 1/2 е двоен корен. Търся (2y-1) по нещо.
64[tex]y ^{4 }[/tex]-32[tex]y^{3 }[/tex]+16[tex]y^{3 }[/tex]-8[tex]y^{2 }[/tex]-28[tex]y^{2 }[/tex]+14y+2y-1=0
32[tex]y^{3 }[/tex](2y-1)+8[tex]y^{2 }[/tex](2y-1)-14y(2y-1)+(2y-1)=0
(2y-1)(32[tex]y^{3 }[/tex]+8[tex]y^{2 }[/tex]-14y+1)=0
32[tex]y^{3 }[/tex]+8[tex]y^{2 }[/tex]-14y+1=0
32[tex]y^{3 }[/tex]-16[tex]y^{2 }[/tex]+24[tex]y^{2 }[/tex]-12y-2y+1=0
16[tex]y^{2 }[/tex](2y-1)+12y(2y-1)-(2y-1)=0
остава уравнението 16[tex]y^{2 }[/tex]+12y-1=0

[stefanb]

полагам p=[tex]cos^{2 }60[/tex]/sinx
q=[tex]sin^{2 }60[/tex]/cosx
уравнението става
pcos60+qcos60=1
оттук p=2-[tex]\sqrt{3}[/tex]q
psinx+qsinx=1

да се чете:
pcos60+qsin60=1
psinx+qcosx=1
грешка на клавиатурата

[pipi langstrump]

Кога ще видим елегантното решение?