Пирамида

[nikola.topalov]

За основа на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] служи правоъгълният [tex]\triangle ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB=2\sqrt{2}[/tex]. Ортогоналната проекция на върха [tex]D[/tex] на пирамидата върху равнината [tex](ABC)[/tex] съвпада с центъра [tex]I[/tex] на външно вписаната окръжност на [tex]\triangle ABC[/tex], допираща се до [tex]AB[/tex]. Да се намери максималната стойност на обема на пирамидата, при условие че сферата, минаваща през точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex],има радиус, равен на [tex]5[/tex].

[nikola.topalov]

Корекция: …минаваща през точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]I[/tex], [tex]D[/tex]…
При набирането на текста е станала някаква грешка.

[S.B.]

За основа на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] служи правоъгълният [tex]\triangle ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB=2\sqrt{2}[/tex]. Ортогоналната проекция на върха [tex]D[/tex] на пирамидата върху равнината [tex](ABC)[/tex] съвпада с центъра [tex]I[/tex] на външно вписаната окръжност на [tex]\triangle ABC[/tex], допираща се до [tex]AB[/tex]. Да се намери максималната стойност на обема на пирамидата, при условие че сферата, минаваща през точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex],има радиус, равен на [tex]5[/tex].

Без заглавие - 2024-06-29T150522.626.png (454.17 KiB) Прегледано 1147 пъти

т.$I$ е пресечната точка на външните ъглополовящи при хипотенузата на [tex]\triangle ABC[/tex] и ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex]
Точките $A,B,I$ определят равнина,която пресича сферата в кръг с център [tex]O_{1 }[/tex] и радиус [tex]r_{1 }[/tex] в който е вписан [tex]\triangle ABI[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]\angle AIB = 45 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AIB[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{\sin 45 ^\circ } = 2 r_{1 } \Rightarrow r_{1 } = 2[/tex]
[tex]\Rightarrow A O_{1 } = B O_{1 } = I O_{1 } = r_{1 } = 2[/tex]
Нека центърът на сферата е т.$O$.
От условието,че точките $A,B,I,D$ лежат на сферата [tex]\rightarrow OA = OB = OI = OD = R=5[/tex]
[tex]\triangle A O_{1 }O \cong \triangle B O_{1 } O \cong \triangle I O_{1 } O[/tex]
По Питагорова теорема се получава [tex]O_{1 }O = \sqrt{21}[/tex]
[tex]\triangle IOD[/tex] е равнобедрен.
Построявам [tex]OM \bot DI[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]I O_{1 }OM[/tex] е правоъгълник, [tex]OM = r_{1 } = 2[/tex]
[tex]\triangle OMI \cong \triangle DOM \Rightarrow MD = MI = \sqrt{21} \Rightarrow ID = 2 \sqrt{21}[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{ID}{3} . S_{ABC }[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC }= r(r + 2 \sqrt{2})[/tex] (където $r$ е радиуса на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност)
Образувам [tex]V(r) = \frac{ID}{3}.r(r + 2 \sqrt{2}) \Leftrightarrow V(r) = \frac{2 \sqrt{21} }{3}( r^{2 }+ 2 \sqrt{2}r)[/tex]
Определям Д.М на аргумента $r$:
1) $r >0$
2) [tex]\pi r^{2 } < S_{ABC } \Leftrightarrow \pi r^{2 }< r^{2 } + 2 \sqrt{2} r \Leftrightarrow r( \pi - 1)< 2\sqrt{2} \Rightarrow r < \frac{2 \sqrt{2} }{ \pi - 1 }[/tex]
Д.М. : [tex]r \in (0 ; \frac{2 \sqrt{2} }{ \pi - 1})[/tex]
[tex]V'(r) = \frac{4 \sqrt{21} }{3}r + \frac{4 \sqrt{42} }{3} = 0 \Rightarrow r = - \sqrt{2} \notin[/tex] Д.М.
[tex]\Rightarrow[/tex]функцията няма екстремум за дефиниционното множество на аргумента $r$
Според мен няма максимален обем, но може и да греша!Има думата авторът на задачата!

[ptj]

Поздравления [tex]S.B.[/tex]

Проследих написаното от Вас до намирането височината на сферата [tex]ID=2 \sqrt{21}[/tex] (без следващите го глупости).

То е напълно достатъчно за намиране на максималния обем на пирамидата. Всичко което остава да съобразите е, че максималното лице на [tex]\triangle ABC[/tex] при фиксирана страна [tex]AB[/tex] съответсва на максимална височина към нея, т.е. [tex]AC=BC[/tex].

[tex]V_{max}= \frac{4 \sqrt{21} }{3}[/tex]

П.П. Варианта без "D се проектира в I" е съществено по-труден (,тогава за изследването щяхме да имаме нужда от параметър).

[S.B.]

Аз написах,че може и да греша!
Съсредоточих се върху стереометричната част на задачата и съвсем съм пропуснала по-лесното,а именно,че правоъгълен триъгълник с фиксирана хипотенуза достига максималното си лице,когато е равнобедрен.
Поздравления ptj!
Така се получи съавторско решение - от мен стереометрията и чертежа, а от Вас останалата част!

[nikola.topalov]

Благодаря много на колегите S.B. и ptj за проявения интерес към задачата!