Лице на ромб

[S.B.]

Даден е ромб $ABCD$ със страна $a$.
Точка $M$ е среда на $CD$ ,а [tex]\angle AMB = \gamma[/tex]
Намерете лицето на ромба.

[Евва]

Съставих система ,която има кратко решение .
Получих [tex]S_{ABCD }= \frac{3 a^{2 }tg \gamma }{4}[/tex]

[S.B.]

Съставих система ,която има кратко решение .
Получих [tex]S_{ABCD }= \frac{3 a^{2 }tg \gamma }{4}[/tex]

Да,това получих и аз,но моето решение не е със система.
Публикувай.

[grav]

Ако ъгъл [tex]ADC = \alpha[/tex] и [tex]DCB = \pi - \alpha[/tex]. Косинусува теорема за [tex]ADM[/tex] и [tex]BMC[/tex] дава

[tex]AM^2 = a^2 + \frac14a^2 -a^2\cos(\alpha)[/tex]

[tex]BM^2 = a^2 + \frac14a^2 -a^2\cos(\pi-\alpha)= a^2 + \frac14a^2 +a^2\cos(\alpha)[/tex]

Косинусува теорема за [tex]AMB[/tex] дава

[tex]a^2 = AM^2 + BM^2 - 2AM.BM\cos(\gamma)[/tex]

Използвайки горните две

[tex]AM.BM = \frac{3a^2}{4\cos(\gamma)}[/tex]

Тъй като [tex]AMB[/tex] и ромба имат еднакви основи и височини, лицето на ромба е два пъти лицето на триъгълника. Следователно търсеното лице е

[tex]AM.BM\sin(\gamma) = \frac{3a^2}{4\cos(\gamma)}\sin(\gamma)[/tex]

[S.B.]

Моето решение е идентично с решението на. колегата grav,за това аз няма да го публикувам.
Благодаря на grav и на Евва за вниманието!

[Евва]

Нека т.N е среда на отс. AB ,AM=b ,BM=c .
[tex]S_{ABCD } =S[/tex]=?

[tex]\begin{array}{|l} S_{ABM } = \frac{S}{2} \\ MN =a /е /медиана/в /тр-кABM \\ a^{2 }= b^{2 }+ c^{2 }-2bc.cos \gamma \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{bc.sin \gamma }{2} = \frac{S}{2} \\ \frac{ \sqrt{ 2c^{2 }+2 b^{2 }- a^{2 } } }{2} = a \\ a^{2 } = b^{2 }+ c^{2 } -2bc.cos \gamma \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} bc = \frac{S}{sin \gamma } \\ b^{2 }+ c^{2 }= \frac{5 a^{2 } }{2} \\ a^{2 } =b^{2 } +c^{2 } -2bc.cos \gamma \end{array}[/tex]

[tex]a^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{2} -2 \frac{S}{sin \gamma }.cos \gamma[/tex]

2S[tex]cotg \gamma = \frac{3 a^{2 } }{2}[/tex]

S=[tex]\frac{3 a^{2 }tg \gamma }{4}[/tex]