Еднакви окръжности

[nikola.topalov]

Точката [tex]M[/tex] е среда на страната [tex]AB[/tex] на вписания в окръжност [tex]k[/tex] четириъгълник [tex]ABCD[/tex]. Точка [tex]Q[/tex] е от отсечката [tex]CM[/tex] и е такава, че [tex]\measuredangle MBQ=\measuredangle MCB[/tex]. Да се докаже, че [tex]k[/tex] и окръжността, описана около [tex]\triangle ABQ[/tex], са еднакви.

[ptj]

Нека S e пресечената точка на лъча [tex]CQ[/tex] с [tex]k[/tex].

[tex]\triangle MQB \cong \triangle SQA[/tex], зашото [tex]AM=MB,\angle {ABM}=\angle {BCM}=\angle BAQ, \angle {AQS}=\angle{BQM}[/tex]

Следствие е [tex]QM=QS[/tex].

Построяваме точка [tex]C_1[/tex] така, че [tex]Q[/tex] да се явява среда на [tex]CC_1[/tex].

Дефинираме централна циметрия [tex]\varphi[/tex] с център т.Q.

Тогава чрез [tex]\varphi : ACBQ \rightarrow AC_1BM[/tex], сл. също [tex]\varphi : k \rightarrow k_1[/tex].

П.П. Извинявам се за записа от последния ред, но не успях да намеря как да запиша [tex]\varphi[/tex] над [tex]\rightarrow[/tex].

[ptj]

Нека S e пресечената точка на лъча [tex]CQ[/tex] с [tex]k[/tex].

[tex]\triangle MQB \cong \triangle SQA[/tex], зашото [tex]AM=MB,\angle {ABM}=\angle {BCM}=\angle BAQ, \angle {AQS}=\angle{BQM}[/tex]

Следствие е [tex]QM=QS[/tex].

Построяваме точка [tex]C_1[/tex] така, че [tex]Q[/tex] да се явява среда на [tex]CC_1[/tex].

Дефинираме централна циметрия [tex]\varphi[/tex] с център т.Q.

Тогава чрез [tex]\varphi : ACBQ \rightarrow AC_1BM[/tex], сл. също [tex]\varphi : k \rightarrow k_1[/tex].

П.П. Извинявам се за записа от последния ред, но не успях да намеря как да запиша [tex]\varphi[/tex] над [tex]\rightarrow[/tex].

Една техническа корекция:

Правилно е :

Чрез [tex]\varphi: ACBS \rightarrow AC_1BM[/tex].