Равни отсечки (намерено в Интернет)

[KOPMOPAH]

Описана и вписана окръжност.png (11.04 KiB) Прегледано 1023 пъти

Около $\triangle ABC$ е описана окръжност. Средата $D$ на дъгата $AC$ е съединена с центъра $O$ на вписаната окръжност. Да се докаже, че $AD=OD=CD$.

[S.B.]

Около $\triangle ABC$ е описана окръжност. Средата $D$ на дъгата $AC$ е съединена с центъра $O$ на вписаната окръжност. Да се докаже, че $AD=OD=CD$.

Без заглавие - 2025-01-27T161759.987.png (258.06 KiB) Прегледано 996 пъти

По условие [tex]\overset {\displaystyle\frown}{AD} = \overset{\displaystyle\frown}{DC}[/tex]
На равни дъги отговарят равни хорди
$$\Rightarrow AD = DC$$
$D$ е среда на [tex]\overset{\displaystyle\frown}{AC}[/tex],а т.$O$ е център на вписаната окръжност [tex]\Rightarrow OD[/tex] е част от ъглополовящата $BD$ на [tex]\angle ABC = \beta[/tex],който е вписан в описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
[tex]\overset{\displaystyle\frown}{AC} = 2 \beta \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AD} = \overset{\displaystyle\frown}{DC} = \beta[/tex]
Ако [tex]\angle ACB = \gamma \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AB} = 2 \gamma[/tex]
Построявам $CL$ ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex], т. $L$ лежи на описаната окръжност.Тогава [tex]\overset{\displaystyle\frown}{AL} = \overset{\displaystyle\frown}{LB} = \gamma[/tex]
За [tex]\triangle ODC :[/tex]
[tex]\angle DCO = \angle DCL[/tex] е вписан и [tex]\angle DCO = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{DL}}{2} = \displaystyle\frac{ \beta+ \gamma }{2}[/tex]
[tex]\angle DOC = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{DC} + \overset{\displaystyle\frown}{LB}}{2} =\displaystyle \frac{ \beta + \gamma }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle DCO = \angle DOC \Rightarrow \triangle DOC[/tex] е равнобедрен и $$DC = DO$$
[tex]\begin{cases} AD = DC \\ DC = DO \end{cases}[/tex]
$$ \Rightarrow AD = DC = DO$$

[ptj]

За мен само чертежа е достатъчен. Браво!

[ins-]

Задачата е известна теорема - на Клайнер, на тризъбеца и т.н. С нея могат да се решат много други задачи. Ако на някой му е интересно - може да разгледа сп. "Математика", бр. 1 от 2021 г. на стр. 24 там има статия на г-жа Румяна Несторова, свързана с тази теорема и нейното приложение. И аз помогнах малко. Мисля, че може да се намери и онлайн този брой. Тук има алтернативен линк към статията.