Сума от три числа

[grav]

Ако [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са три реални числа и [tex]a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1[/tex], да се намери [tex]a+b+c[/tex].

[ammornil]

Ако [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са три реални числа и [tex]a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1[/tex], да се намери [tex]a+b+c[/tex].

Скрит текст: покажи

$(1,0,0) \cup (0,1,0) \cup (0,0,1) \\ a+b+c=1 $

[pal702004]

От равенството $a^2+b^2+c^2=1$ следва, че и трите числа са в интервала $[-1;1]$. Като изключим границите $-1,0,1$ повдигането на такива числа в степен, по-голяма от 1 ги намалява по абсолютна стойност. Така че сумата от кубовете на положителните числа ще е по-малка от сумата на техните квадрати (а ако има и отрицателно съвсем). Така че числата са $(0,0,1)$ с пермутации.

[pal702004]

Малко по-аргументирано. $a^2+b^2+c^2=1 \Longrightarrow a,b,c \le 1$

$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3 \Longrightarrow$

$a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)=0$

И трите събираеми са неотрицателни, следователно трябва да с нули.