Неравенство в остроъгълен триъгълник

[ins-]

Да се докаже, че за всеки остроъгълен триъгълник е в сила неравенството:

[tex](a^2 m_a^2 + b^2 m_b^2+c^2 m_c^2)(a^2+b^2+c^2) \ge 16 m_a^2 m_b^2 m_c^2[/tex].

Скрит текст: покажи

([tex]m_a[/tex], [tex]m_b[/tex], [tex]m_c[/tex] са медианите, а [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са страните на триъгълника)

[geoder]

Формулите за медиана са:
[tex]m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}[/tex]
[tex]m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}}[/tex]
[tex]m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}[/tex]
Те се извеждат от упоредник, в който винаги е изпълнено, че сборът от квадрата на диагоналите е равен на два пъти сбора от квадрата на страните. Тогава при стандартни означения AO се явява медиана в [tex]\triangle[/tex]ABD и извеждаме формулата. Когато заместим в неравенството, би трябвало лесно да се докаже твърдението.

​

[ins-]

За едни едно е лесно, а за други - друго. Не е трудна задачата, но и не е лесна. Има специфични моменти.