Цяла част на сума

[ins-]

Да се пресметне цялата част на сумата:

[tex]\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{5}+...+\frac{\sqrt{3986012}}{3993}[/tex]

[ammornil]

Да се пресметне цялата част на сумата:

[tex]\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{5}+...+\frac{\sqrt{3986012}}{3993}[/tex]

$\\[6pt]\quad$Не е много коректно зададено, но за който е рeшавал известно време такива задачи, прилича на редицата $a_{n}=\dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2\cdot{n}+1}, (n\in\mathbb{N})$ и се търси $\left\lceil \begin{matrix} \sum_{n=1}^{1996}{a_{n}} \end{matrix} \right\rceil =?\\[24pt]\quad$Правилно ли разсъждавам?

[ins-]

Да, редицата е тази. "Цялата част на [tex]x[/tex]" e [tex][x][/tex] е според условието.

[ammornil]

$0<\dfrac{n}{2n+1} \leq \dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} \leq \dfrac{n+1}{2n+1},\hspace{0.5em} \forall{n}\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n}{2n+1}} \leq \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} } \leq \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n+1}{2n+1}}\\[24pt] \dfrac{n}{2n+1}= \dfrac{1}{2}\cdot{\dfrac{2n}{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\cdot{\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)}= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2(2n+1)} \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n}{2n+1}}=1996\cdot{\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}= 998-\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}},\\[6pt]$Aналогично$\\[6pt]\dfrac{n+1}{2n+1}=\cdots =\dfrac{1}{2}\cdot{\left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right)}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(2n+1)} \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n+1}{2n+1}}=1996\cdot{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}= 998+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \\[24pt] \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \approx \int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} =\int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2}\ln{(2n+1)}}=\cdots{}= \dfrac{1}{2}\ln{3993}- \dfrac{1}{2}\ln{3}= \ln{\sqrt{\dfrac{3993}{3}}}= \ln{\sqrt{1331}} \approx 3,5968 \\[12pt] 996,2016 \lessapprox \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} } \lessapprox 999,7984\\[12pt]$И тук зациклих. Предполагам, че цялата част е $997$, сумата клони към $998$, но отдолу защото приближението $ \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \approx \int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}$ с интеграла е завишено.

[ins-]

Може и без интеграли да се реши. Задачата иска техника и въображение. Забавното е, че е давана в тема за 7-ми клас на чуждо състезание.

[ammornil]

Да, вероятно сте прав. Може би може да се разгледа $n(n+1)= n^{2}+ 2\cdot{n}\cdot{\dfrac{1}{2}} +\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{4}= \left(n+\dfrac{1}{2}\right)^{2} -\dfrac{1}{4} \\[6pt] n > 1 \Rightarrow \left(n+\dfrac{1}{2}\right)^{2} -\dfrac{1}{4} \to{} \left(n+\dfrac{1}{2}\right)^{2} \Rightarrow \sqrt{n(n+1)}\approx n + \dfrac{1}{2}, \quad \forall{n}\in\mathbb{N}, n>1 \\[6pt] \Rightarrow \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}\approx \dfrac{\dfrac{2n+1}{2}}{2n+1}\approx \dfrac{1}{2}\hspace{0.5em} \forall{n}\in\mathbb{N/_{\{1\}}} \cup \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}, n=1 \\[6pt] \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}}\approx \dfrac{\sqrt{2}}{3} + 1995\cdot{\dfrac{1}{2}}\approx 997,9714 \\[12pt] \left[ 997,9714 \right]= 997 \\[12pt]\quad$Бърза скомпютърна симулация показва, че не сме много далеч от реалния резултат

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-04-29 152411.png (32.51 KiB) Прегледано 1659 пъти

[ins-]

Нека да мине малко време и ще споделя и моите идеи. Задачата допуска поне 3-4 подхода. Сумата беше подточка а) от задача. б) беше: Да се пресметне цялата част на сумата: [tex]\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{5}+...+\frac{\sqrt{399006}}{3995}[/tex]. Нямаше други подточки. Интересно ми е колко деца в 7-ми клас биха могли да решат подобна задача в състезателна обстановка. Преди години в някои държави сигурно целта е била да се постигне такова ниво на подготовка.

[Gruicho]

Споделете коя е държавата с такива умни деца.

[ins-]

Румъния, през 90-те години.

[pal702004]

Всъщност за решението е достатъчно, че $\dfrac{n-1}{2}<S_n<\dfrac n 2$

Второто неравенство се доказва лесно, пряко следствие от това, че $a_n<\dfrac 1 2$ (и близко до $\dfrac 1 2$ с увеличаване на $n$, но все пак по-малко).

Първото е по-неприятно - не става с мат.индукция, $a_n \approx \dfrac 1 2$ не работи в тази посока, понеже е по-малко. Варианти имам, но не са за 7-ми клас.

[pal702004]

Всъщност с индукция става, като малко се усили, а именно $S_n>\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{1}{2n+3}$. Така индукционния преход става

$\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}>\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{1}{2n+3}$

което е вярно за всяко $n>0$, но сметките са неприятни.

[ins-]

$0<\dfrac{n}{2n+1} \leq \dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} \leq \dfrac{n+1}{2n+1},\hspace{0.5em} \forall{n}\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n}{2n+1}} \leq \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} } \leq \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n+1}{2n+1}}\\[24pt] \dfrac{n}{2n+1}= \dfrac{1}{2}\cdot{\dfrac{2n}{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\cdot{\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)}= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2(2n+1)} \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n}{2n+1}}=1996\cdot{\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}= 998-\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}},\\[6pt]$Aналогично$\\[6pt]\dfrac{n+1}{2n+1}=\cdots =\dfrac{1}{2}\cdot{\left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right)}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(2n+1)} \Rightarrow \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{n+1}{2n+1}}=1996\cdot{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}= 998+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \\[24pt] \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \approx \int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} =\int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2}\ln{(2n+1)}}=\cdots{}= \dfrac{1}{2}\ln{3993}- \dfrac{1}{2}\ln{3}= \ln{\sqrt{\dfrac{3993}{3}}}= \ln{\sqrt{1331}} \approx 3,5968 \\[12pt] 996,2016 \lessapprox \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{\sqrt{n\cdot{(n+1)}}}{2n+1} } \lessapprox 999,7984\\[12pt]$И тук зациклих. Предполагам, че цялата част е $997$, сумата клони към $998$, но отдолу защото приближението $ \sum_{n=1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}} \approx \int\limits_{1}^{1996}{\dfrac{1}{2n+1}}$ с интеграла е завишено.

Ако не греша - геометричният смисъл на определен интеграл е някакво лице. Това, което изразява сумата не е лице. Предполагам, че от там идва завишената оценка.

[ins-]

Всъщност с индукция става, като малко се усили, а именно $S_n>\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{1}{2n+3}$. Така индукционния преход става

$\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}>\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{1}{2n+3}$

което е вярно за всяко $n>0$, но сметките са неприятни.

Какво е значението на дробите пред общия член на редицата?

7-ми клас е много относително понятие. В Румъния може да се учат други неща. Мисля, че като цяло са по-напред с учебната програма. Ако се добавят и някакви специализирани курсове за състезатели биха могли да се получат доста странни неща.

[ammornil]

Ако не греша - геометричният смисъл на определен интеграл е някакво лице. Това, което изразява сумата не е лице. Предполагам, че от там идва завишената оценка.

$\\[12pt]$Определен интеграл e сумата от произведенията на аргумента на непрекъсната фунция и стойностите на функцията за сътоветната стойност на аргумента (обикновено, но не задължително, в затворен интервал от дефиниционната област на функцията, в който функцията е непрекъсната). Разликата идва от това, че нашата функция $f(n)=\dfrac{1}{2n+1}$ не е непрекъсната, а представлява сътоветствие на две дискретни множества $\{n_{1}\}\overset{f(n)}{\rightarrow}\{a_{n_{1}}\}$. Приближението е допустимо, защото функцията е намаляваща, тоест $\\[6pt] \quad \int_{1}^{1996}{f(n)}dn < \sum_{n=1}^{1996}{f(n)} < \int_{1}^{1996} f(n){dn} + f(1), \\[6pt]$тоест грешката в приближението е по-малка от най-големия член на редицата (първия). Поне така мисля, но не съм $100\%$ сигурен.

[pal702004]

Какво е значението на дробите пред общия член на редицата?

Доказваме с индукция по-гадното неравенство, че $S_n>\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{1}{2n+3}$. Показваме, че е вярно за $n=1$. И доказваме, че

$S_{n-1}+a_n>S_n$, като използваме допускането, че $S_{n-1}>\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{1}{2n+1}$

Хубаво решение е предложил anonimous в темата, която е отворил и който напук не иска да се регистрира и да участва нормално във форума. Основава се на няколко лесно доказуеми факта (става въпрос за неравенството $S_n>\ldots$:

1. $a_n=\dfrac 1 2 \cdot \sqrt{\dfrac{(2n+1)^2-1}{(2n+1)^2}}=\dfrac1 2 \cdot\sqrt{1-\dfrac{1}{(2n+1)^2}}$

2. $\sqrt t>t$, ако $t \in (0,1)$, следователно $2a_n>1-\dfrac{1}{(2n+1)^2}$

3. $\dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

4. $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac 1 2 \left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1} \right)$

Откъдето

$4a_n>2-\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n+1}$

Нататък е лесно. Но и това ми ве вижда трудно за 7-ми клас.

[ins-]

Никой не реши б)
Искам да покажа малко по-различен начин на решение /валиден е и за а)/ :

Скрит текст: покажи

Нека сумата е $S'$.
$$S' = \sum_{n=1}^{1997} \frac{\sqrt{n(n+1)}}{n + (n+1)}$$
Нека $n$-тия член да е $a_n = \frac{\sqrt{n(n+1)}}{n + (n+1)} = \frac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}$.

$$a_n = \frac{1}{2} - \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)}$$ Сумираме $n=1$ to $1997$:$$S' = \sum_{n=1}^{1997} a_n = \sum_{n=1}^{1997} \left( \frac{1}{2} - \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)} \right)$$
$$S' = \left( \sum_{n=1}^{1997} \frac{1}{2} \right) - \left( \sum_{n=1}^{1997} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)} \right)$$Първата част е: $$\sum_{n=1}^{1997} \frac{1}{2} = 1997 \times \frac{1}{2} = 998.5$$Нека втората част да е $C'$:$$C' = \sum_{n=1}^{1997} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)}$$
$S' = 998.5 - C'$.

Трябва да намерим допустимият интервал за $C'$, за да намерим цялата част на $S'$. Тъй като всеки член на сумата $C'$ е положителен, знаем че $C' > 0$.
Търсим долната граница на $C'$.
$$\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)} = \frac{1}{2(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2} < \frac{1}{16n^2}$$ $$C' = \sum_{n=1}^{1997} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2}{2(2n+1)} < \sum_{n=1}^{1997} \frac{1}{16n^2} = \frac{1}{16} \sum_{n=1}^{1997} \frac{1}{n^2}$$ $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{N}$. For $N=1997$:$$\sum_{n=1}^{1997} \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{1997} < 2$$ Заместваме в границата $C'$:$$C' < \frac{1}{16} \times 2 = \frac{1}{8}$$
Установихме, че $0 < C' < \frac{1}{8}$.

Заместваме отново в израза за $S'$:
$$S' = 998.5 - C'$$ Тъй като $0 < C' < \frac{1}{8}$ имаме $S'$:$$998.5 - \frac{1}{8} < S' < 998.5 - 0$$$$998.5 - 0.125 < S' < 998.5$$$$998.375 < S' < 998.5$$
Сумата $S'$ е между $998.375$ and $998.5$.

Цялата част на $S'$ е $998$.

Трудното и при двете подточки е да се намери долната граница. Играх си на ИИ и намериха различните програми различни подходи. Един беше чрез "налучкване" с интуиция на конкретни числови стойности, за които сумата е по-малка от желаната от нас стойност (това и ползването на неравенството между средно аритметично и средно геометрично за горната граница сигурно правят задачата най-близо до знанията на седмокласник). Друг беше да се ползва неравенство на Бернули. Трети с изследване на хармонични суми. Най-вероятно изпускам поне един възможен подход. Благодаря на всички за положените усилия и се надявам задачата да им е харесала!