Квадратни сюрективни функции

[ins-]

Да се намерят всички сюрективни функции $f:[-1;1]\rightarrow[-1;1]$ от вида $f(x)=ax^2+bx+c$, където $a,b,c \in R$.

Скрит текст: покажи

"Това означава, че за всяко число от интервала $[-1;1]$ е стойност на функцията $f(x)$, за която $b$ приема минимална стойност". Текстът в кавички е част от оригиналното условие на задачата.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Извинявам се за допуснатата грешка! Точният текст е: "Това означава, че всяко число от интервала $[−1;1]$ е стойност на функцията $f(x)$, за която $b$ приема минимална стойност".

[nikola.topalov]

[tex]f(x)=x[/tex] или [tex]f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}[/tex]?

[ins-]

@nikola.topalov
https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F, ако се ползва това определение би трябвало да има още решения. Не знам дали твърдението в кавички, което е част от оригиналното условие на задачата и определението за сюрективна функция от линка са равносилни. Поне за мен не е очевидно.

[ammornil]

$f(x)=ax^{2}+bx+c \\[12pt] \boxed{\text{1}} \quad a=0 \Rightarrow f(x)=bx+c, x\in{[-1;1]} \rightarrow f(x)\in{[-1;1]} \Rightarrow \\[6pt]\boxed{\text{1A}}\quad b>0, \quad \because{}\begin{array}{l} x\in{[-1;1]} \\ f(x) \in{[-1;1]} \end{array} \Rightarrow \begin{cases} f(-1)=f_{min}= -1 \\ f(1)=f_{max} =1 \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} -b+c= -1 \\ b+c =1 \end{array} \\[6pt] \Rightarrow \begin{array}{|l} b=1 \\ c=0 \end{array}$ $$\boxed{\text{Случай 1А}:\quad f(x)=x }$$ $\\[6pt]\boxed{\text{1Б}}\quad b<0, \quad \because{}\begin{array}{l} x\in{[-1;1]} \\ f(x) \in{[-1;1]} \end{array} \Rightarrow \begin{cases} f(1)=f_{min}= -1 \\ f(-1)=f_{max} =1 \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} b+c= -1 \\ -b+c =1 \end{array} \\[6pt] \Rightarrow \begin{array}{|l} b=-1 \\ c=0 \end{array}$ $$\boxed{\text{Случай 1Б}:\quad f(x)=-x} $$ $\\[6pt]\boxed{\text{1В}}\quad b=0, \quad \because{}\begin{array}{l} x\in{[-1;1]} \\ f(x) \in{[-1;1]} \end{array} \Rightarrow c\in{[-1,1]}$ $$\boxed{\text{Случай 1В}:\quad f(x)=c, \quad c\in{[-1,1]}} $$ $\\[12pt]\boxed{\text{2}} \quad a\ne{0}, f(x)=ax^{2}+bx+c, x\in{[-1;1]} \rightarrow f(x)\in{[-1;1]} \Rightarrow \\[6pt] -1\leq{}-\dfrac{b}{2a}\leq{}1 \Leftrightarrow -2a\leq{-b}\leq{2a} \Leftrightarrow -\dfrac{b}{2}\leq a\leq \dfrac{b}{2} \\[12pt] \begin{cases} \min_{x\in{[-1;1]}}{f(x)}=-1 \\ \max_{x\in{[-1;1]}}{f(x)}= 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} f(-1)=-1 \\ f(1)=1 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} f(1)=-1 \\ f(-1)=1 \end{array} \\[6pt] f(-1)=a-b+c, \quad f(1)=a+b+c \\[6pt] \begin{array}{|l} a-b+c=-1 \\ a+b+c=1 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} a+b+c=-1 \\ a-b+c=1 \end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} -2b=-2 \\ a+b+c=1 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} 2b=-2 \\ a-b+c=1 \end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} b=1 \\ a+c=0 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} b=-1 \\ a+c=2 \end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} b=1 \\ a+c=0 \\ -\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2} \end{array} \Rightarrow f(x)=ax^{2}+x-a\quad \cup \quad \begin{array}{|l} b=-1 \\ c=2-a \\ \dfrac{1}{2}\leq a\leq -\dfrac{1}{2} \rightarrow \nexists{a} \end{array} \Rightarrow \nexists{f(x)}$ $$ \boxed{ \text{Случай 2}: f(x)=ax^{2}+x-a,\quad -\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2}, a\ne{0}} $$

[ammornil]

Допълнителното уточнение в същност не е вярно. За сюрективна функция $f: X\rightarrow Y$ е достатъчно да е изпълнено $\forall{y} \in Y,\hspace{0.5em} \exists{x} \in{X}: f(x)=y$

Сюрекция (наричана още сюрективна функция) е функция $f:A\rightarrow B$ такава, че всеки елемент в кодомейна $B$ е образ на поне един елемент в домейна $A$. С други думи, $\forall{b} \in{B}$, ​​съществува поне един $a\in{A}$ такъв, че $f(a)=b$.

Примери:
Нека $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2x$ не е сюрекция, защото $1\in{\mathbb{R}}: \nexists{x}\in{\mathbb{Z}} \rightarrow 2x=1$.
Но ако дефинираме $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2x$, тогава функцията е сюрекция, защото на всяко реално число съотвтства половината на това число в $\mathbb{R}$.



Сюрекцията е от категорията съответствия в която се срещат още инекция (еднозначно съответствие - на всеки уникален елемент от А съответства уникален елемент в Б, тоест няма два различни елемента от А, които да се изпращат към един и същи елемент в Б) и биекция (функция което е едновременно инекция и сюрекция между множества от една и съща мощност).

Credits:

Скрит текст: покажи

Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications, 7th Edition, McGraw-Hill, 2012.

A function $f$ from a set $A$ to a set $B$ is called "onto" or "surjective" if and only if for every $b\in{B}$, there exists $a\in{A}$ such that $f(a)=b$.

[ins-]

@ammornil може да се е получило "изгубени в превода", вместо $R$ да е трябвало да е $R^+$ или нещо подобно. Благодаря за решението и споделения теоретичен материал!

[ins-]

Мисля, че горното решение не покрива всички възможни функции. Например: $f(x)=2x^2-1$ и не само нея.

[ammornil]

Мисля, че горното решение не покрива всички възможни функции. Например: $f(x)=2x^2-1$ и не само нея.

Да, очевидно не съм разгледал правилно възможните случаи. Това е защото съм започнал един случай а съм го прехвърлил в друг:
$$-2a\leq{-b}\leq{2a} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a\geq{\dfrac{b}{2}} \\ -\dfrac{b}{2}\leq{a} \end{array} \not\Leftrightarrow{} -\dfrac{b}{2} \leq{a} \leq{\dfrac{b}{2}}$$
Моля за извинение, трябва да се разгледат двете развития по отделно.

[ins-]

Сетих се да отбележа, че е възможен друг подход за решение, който включва зависимости между няколко променливи в едно равенство или неравенство, например: $|a+b+c| \le 1$.