Вписан четириъгълник

[nikola.topalov]

Нека [tex]ABCD[/tex] [tex](AD>BC[/tex] и [tex]DC>AB)[/tex] е четириъгълник, около който може да се опише окръжност. Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] лежат съответно на страните [tex]AD[/tex] и [tex]DC[/tex] и са такива, че [tex]BC=DM[/tex] и [tex]AB=DN[/tex]. Нека [tex]S=MN\cap BD[/tex]. Да се докаже, че [tex]2DS=AC[/tex].

[tryagainD]

Screenshot_2025-05-27_19-21-14.png (115.72 KiB) Прегледано 778 пъти

Мисля, че реших задачата!

*Започваме като построяваме две прави, успоредни на AC:
едната през M и пресича BD в т.Q;
другата през N и пресича BD в т.R.

Нека [tex]\angle BCA = \alpha[/tex]. Тогава [tex]\angle ADB[/tex] също е равен на [tex]\alpha[/tex], защото и двата ъгъла се измерват с половината от дъгата AB. По същия начин, ако [tex]\angle CBD = \beta[/tex], то и [tex]\angle CAD = \beta[/tex], но тъй като MQ||AC, то и [tex]\angle QMD = \beta[/tex].
Получаваме [tex]\triangle BCF[/tex] и [tex]\triangle MDQ[/tex], на които два ъгъла и една страна са съответно равни
[tex]\Rightarrow \triangle BCF \cong \triangle MDQ[/tex] (2-ри признак) [tex]\Rightarrow CF = DQ[/tex] и [tex]BF = MQ[/tex] (СЕЕТ)

По аналогичен начин, ако отбележим [tex]\angle DBA = \gamma[/tex] и [tex]\angle BAC = \delta[/tex], намираме, че [tex]\triangle ABF \cong \triangle DNR[/tex] [tex]\Rightarrow AF = DR[/tex] и [tex]BF = NR[/tex] (СЕЕТ)

За да докажем, че $2DS = AC$, е достатъчно да докажем, че $S$ е среда на $QR$, т.е. $SQ = SR$, защото тогава $AC = AF + FC = DR + DQ = 2DQ + 2SQ = 2DS$.

Забелязваме, че $MQ = RN$ и че $MQ||RN$. От следствие на теоремата на Талес [tex]\Rightarrow MQ:NR=SQ:SR \Rightarrow SQ:SR = 1 \Rightarrow SQ = SR[/tex]. Готово!

По принцип последната част може да се докаже отново с еднакви триъгълници заради симетрията, което показва, че задачата може да се реши изцяло със знания от 7-ми клас

*Ако на чертежа Ви $AB < BC$ точките на пресичане ще станат малко обърнати и в доказателството ще трябва да се замястят няколко буквички.

[KOPMOPAH]

Поздравления за чудесния чертеж!