Триъгълна призма

[nikola.topalov]

Дадена е права триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex], за основа на която служи правоъгълният триъгълник [tex]ABC[/tex] с катети [tex]AC=3[/tex], [tex]BC=4[/tex]. Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно средите на ръбовете [tex]AB[/tex] и [tex]B_1C_1[/tex], а точката [tex]P[/tex] от ръба [tex]AC[/tex] е такава, че [tex]AP:PC=2:3[/tex].
[tex]\quad[/tex] а) Да се намери отношението на обемите на телата, на които равнината [tex](MNP)[/tex] разделя призмата, ако в нея може да се впише сфера;
[tex]\quad[/tex] б) Сфера с център [tex]I[/tex] се допира до околните стени и основата [tex]ABC[/tex] на призмата. Да се намери обемът на призмата, ако точките [tex]M[/tex], [tex]N[/tex], [tex]P[/tex] и [tex]I[/tex] лежат в една равнина.

Бонус въпрос: В какво отношение [tex]P[/tex] трябва да разделя [tex]AC[/tex], така че сферата да се допира до всички стени на призмата?

Скрит текст: покажи

Задачата е авторска, дано не съм оплескал сметките някъде.

[ptj]

Прекалено лесна е за този раздел.

[nikola.topalov]

Прекалено лесна е за този раздел.

Ще знам за другия път да кача трудна задача. И, ако може, към нея и решение да приложите, че за ”лесната” ми се струва все още нямате отговор.

[ptj]

Оставих възможност за някой нов млад талант. Утре ще драсна някой ред.

[ptj]

Защо задачата ти е лесна:

1.) Факта че призмата е права (перпендикулярността на околните стени, спрямо основата) веднага ни дава, че радиуса на вписаната сфера е равен на радиуса на вписаната окръжност в основата. За правоъгълен триъгълник подобен радиус се смята на ум:

[tex]r= \frac{S}{p}= \frac{ab}{p}= \frac{3.4}{3+4+5}=1[/tex] .

2.) Имам три взаимно перпендикулярни ръба и знаеш дължината на всеки един от тях. Можеш да въведеш координатна система и да намериш пресечените точки на равнината с различните ръбове.

Това автоматично прави задачата ти стандартна. Тя може да се реши с Аналитична геометрия, вектори или други типично използвани в стереометричните доказателства методи.

За мен подобно описание ще е само загуба на време, нищо ново няма да науча...

П.П. Сигурен съм, че сега S.B. ще драсне доказателство от третия тип за половин час.

М/у другото центъра на вписаната сфера е фиксиран. Не знам какви сметки си правил по подточка б.), но тя се свежда до проверката дали 4-те точки лежат в една равнина.
Обема на призмата (,защото е права,) е [tex]V=S.h= \frac{a.h_a}{2}h= \frac{3.4}{2}.2=12[/tex]

[nikola.topalov]

В б) височината на призмата не е ясна.

[ptj]

Съгласих се (не бях прочел правилно условието). Това обаче, не променя трудността на задачата, защото центъра и радиуса на сферата не се променят.

[nikola.topalov]

Добро око имате за подхода с аналитичната геометрия. Именно оттам изходих и аз. Но без аналитична геометрия решението е по-интересно като че ли. Не съм го разписвал.

[ptj]

Хубаво е, че се опитваш да намериш нещо ново. Но по-добре се заеми с някой по-сериозен нерешен математически проблем. След като овладееш теорията, решаващо значение за всичко ще има интуицията ти. Ако умееш да виждаш това, което другите пропускат рано или късно ще направиш сериозен пробив. Просто трябва да си вярваш.

П.П. Само да не е "Хипотезата за 4-те цвята", зашото ще си закъснял...

[ptj]

Спомням си думите на Асен Рахнев по повод писането на реферата ми в 11 клас:
- Най -трудното не е да откриеш решение на недоказан математически проблем, истинското предизвакателство е да превърнеш драсканиците и интуитивните си идеи в нещо разбираемо за цялата аудитория...

Мисля, че най-накрая имам работещо доказателство за теоремата "Хроматичното число на всеки равнинен граф (без дублирани ребра и клики) е не по-голямо от 4".
Проблема е, че трябва да седна да го напиша и изпратя за публикация.

[grav]

Проблема е, че трябва да седна да го напиша и изпратя за публикация.

Проблемите идват след това, когато рецензентите намерят неточности, пропуски и грешки.

[ptj]

Поживем увидим.