Вписана окръжност с радиус 1

[KOPMOPAH]

Вписана окръжност с радиус 1.png (6.54 KiB) Прегледано 143 пъти

В триъгълник е вписана окръжност с радиус $r=1$, която разделя страната $AB$ на отсечки с дължина $m$ и $n$. Да се намери лицето на триъгълника.

[S.B.]

Прикачения файл Вписана окръжност с радиус 1.png вече е недостъпен

В триъгълник е вписана окръжност с радиус $r=1$, която разделя страната $AB$ на отсечки с дължина $m$ и $n$. Да се намери лицето на триъгълника.

Без заглавие - 2025-11-16T074758.622.png (210.1 KiB) Прегледано 107 пъти

$AM = AP = m , BM = BN = n , CP = CN = x$
[tex]\angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]S = p.r \Leftrightarrow[/tex]
[tex]S = (m + n + x).1 \Rightarrow S = m+n+x[/tex]
[tex]S = \sqrt{p.(p-a)(p-b)(p-c) } \Leftrightarrow S = \sqrt{(m+n+x)(m+n+x-m-n)(m+n+x-m-x)(m+n+x-n-x)}[/tex]
[tex]\Rightarrow S= \sqrt{(m+n+x)m.n.x}[/tex]
[tex]\begin{cases} S = m+n+x \\ S = \sqrt{(m+n+x)m.n.x} \end{cases} \Rightarrow m+n+x = \sqrt{(m+n+x).m.n.x}[/tex]

[tex]m+n+x = \sqrt{(m+n+x)m.n.x} \Leftrightarrow (m+n+x)^{2 } = (m+n+x).m.n.x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (m+n+x)^{2 } -(m+n+x).m.n.x = 0 \Leftrightarrow (m+n+x)(m+n+x-m.n.x)=0[/tex]
[tex]m+n+x \ne 0 \Rightarrow m+n+x - m.n.x = 0 \Leftrightarrow m+n + x(1-mn) = 0 \Leftrightarrow m+n = x(mn-1)[/tex]

От [tex]\triangle AOB : \angle AOB = 90 ^\circ + \frac{ \gamma }{2} \ne 90 ^\circ \Rightarrow \triangle AOB[/tex] не е правоъгълен и според метричните свойства
[tex]AM.BM \ne OM^{2 } \Rightarrow m.n \ne 1[/tex]
$$\Rightarrow x= \frac{m+n}{mn-1}$$
[tex]S = m +n+x = m+n+ \frac{m+n}{mn-1} = (m+n)(1 + \frac{1}{mn-1}) = (m+n)( \frac{mn-1+1}{mn-1} = \frac{(m+n).mn}{mn-1}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = \frac{mn(m+n)}{mn-1} $$

[Darina73]

Ето още една идея
[tex]S_{ABC } =S_{ADOP } +S_{DBNO } +S_{ONCP }[/tex]

[tex]S_{ABC }[/tex]=m+n+x =m+n+cotg[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=

=m+n+cotg[ 90 - ([tex]\frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2}[/tex]) ]= m+n+tg([tex]\frac{ \alpha }{2} +\frac{ \beta }{2}[/tex])=

=m+n+[tex]\frac{tg \frac{ \alpha }{2} +tg \frac{ \beta }{2} }{1-tg \frac{ \alpha }{2}.tg \frac{ \beta }{2} }[/tex]=m+n+[tex]\frac{ \frac{1}{m} +\frac{1}{n} }{ \frac{1}{1} -\frac{1}{m}. \frac{1}{n} }[/tex]=

=m+n+[tex]\frac{ \frac{m+n}{mn} }{ \frac{mn-1}{mn} }[/tex]= [tex]\frac{ m^{2 }n-m+m n^{2 }-n+m+n }{mn-1}[/tex]=

=[tex]\frac{mn(m+n)}{mn-1}[/tex]

[peyo]

Вписана окръжност с радиус 1.png

В триъгълник е вписана окръжност с радиус $r=1$, която разделя страната $AB$ на отсечки с дължина $m$ и $n$. Да се намери лицето на триъгълника.

Да решим задачата със sympy!

In [1]: from sympy import *
...: var("x,y,m,n")
...: A=Point(-m,0); B=Point(n,0);
...: O=Circle(Point(0,1),1)
...: T_A = O.tangent_lines(A)[1]; T_B=O.tangent_lines(B)[1];
...: C = T_A.intersection(T_B)[0]
...: S = Polygon(A,B,C).area
...: S
Out[1]: m*n*(m + n)/(m*n - 1)

In [2]: print("\$", latex(S),"\$")
$ \frac{m n \left(m + n\right)}{m n - 1} $