Ъгъл срещу основата на равнобедрен триъгълник

[S.B.]

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен,като $AC = BC$
Върху бедрата $AC$ и $BC$ са взети точките $M,N$ и $P$ ( [tex]M \in BC , N \in AC ,P \in BC[/tex]), такива,че:
$CM=MN = NP = AP = AB$
Да се намери стойността на [tex]\angle ACB[/tex].

Без заглавие - 2025-11-23T125800.547.png (266.68 KiB) Прегледано 188 пъти

[Darina73]

[tex]\angle[/tex]АСВ= 20[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Задачата ми се стори лесна .

[Gruicho]

Като е лесна напиши решението а не отговор

[Darina73]

Нека [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] , тогава [tex]\angle[/tex]ACB= 180[tex]^\circ-2 \alpha[/tex]
[tex]\alpha[/tex]= ?
[tex]\angle[/tex]PAN=[tex]\angle[/tex]BAC-[tex]\angle[/tex]BAP= [tex]\alpha-(180 ^\circ-2 \alpha )[/tex] ; [tex]\angle[/tex]PAN=3[tex]\alpha-180 ^\circ[/tex] (1)

AP=NP [tex]\triangle[/tex]APN - равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ANP=[tex]\angle[/tex]PAN=3[tex]\alpha[/tex]-180[tex]^\circ[/tex] (2)

[tex]\angle[/tex]APN=180[tex]^\circ-2(3 \alpha-180 ^\circ )[/tex]; [tex]\angle[/tex]APN = 540[tex]^\circ-6 \alpha[/tex] (3)

NM=CM [tex]\triangle[/tex]NMC-равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CNM=[tex]\angle[/tex]NCM=[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ-2 \alpha[/tex] (4)

[tex]\angle[/tex]MPN+[tex]\angle[/tex]BPA+[tex]\angle[/tex]APN=180[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]MPN+[tex]\alpha+540 ^\circ -6 \alpha =180^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]MPN= 5[tex]\alpha-360 ^\circ[/tex] (5)

MN=NP [tex]\triangle[/tex]PMN -равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]PNM=180[tex]^\circ-2(5 \alpha-360 ^\circ[/tex]); [tex]\angle[/tex]PNM=900[tex]^\circ-10 \alpha[/tex] (6)

[tex]\angle[/tex]ANP +[tex]\angle[/tex]PNM +[tex]\angle[/tex]CNM= 180[tex]^\circ[/tex] [ ползваме (2) ,(4) и (6) ]

[tex]3\alpha-180 ^\circ+900 ^\circ-10 \alpha+180 ^\circ-2 \alpha= 180 ^\circ[/tex]

720[tex]^\circ= 9 \alpha[/tex] ; [tex]\alpha=80 ^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ-2 \alpha= 180 ^\circ -160 ^\circ=20 ^\circ[/tex]

[S.B.]

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен,като $AC = BC$
Върху бедрата $AC$ и $BC$ са взети точките $M,N$ и $P$ ( [tex]M \in BC , N \in AC ,P \in BC[/tex]), такива,че:
$CM=MN = NP = AP = AB$
Да се намери стойността на [tex]\angle ACB[/tex].

Без заглавие - 2025-11-26T162627.012.png (266.73 KiB) Прегледано 48 пъти

Ще представя и моя поглед върху задачата:

Нека [tex]\angle ACB = \alpha[/tex]
[tex]\triangle MNC: \begin{cases} CM= MN \\ \angle MNC = \angle MCN = \alpha \end{cases} \Rightarrow \angle NMP = 2 \alpha[/tex] (като външен ъгъл за [tex]\triangle MNC)[/tex]

[tex]\triangle PMN: \begin{cases} NM = NP \\ \angle NMP = 2 \alpha \end{cases} \Rightarrow \angle NPM = 2 \alpha[/tex]

[tex]\triangle PCN: \begin{cases} \angle NPC = 2 \alpha \\ \angle PCN = \alpha \end{cases} \Rightarrow \angle ANP = 3 \alpha[/tex]( като външен ъгъл за [tex]\triangle PCN[/tex])

[tex]\triangle BPA \approx \triangle ABC[/tex]
[tex]\angle ABP[/tex] е общ и за двата триъгълника,които са равнобедрени и имат равни ъгли при основите си.
([tex]\angle ABP = \angle ABC[/tex])
[tex]\Rightarrow \angle BAP = \angle ACB = \alpha[/tex]
[tex]\angle CAB = \angle BAP + \angle NAP = \alpha + 3 \alpha = 4 \alpha[/tex]
[tex]\angle CBA = \angle CAB = 4 \alpha[/tex]
За [tex]\triangle ABC : 8 \alpha + \alpha = 180 ^\circ \Leftrightarrow 9 \alpha = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha = 20 ^\circ[/tex]
$$ \Rightarrow \angle ACB = 20 ^\circ $$

Скрит текст: покажи

Някои намират тази задача за прекалено лесна,но аз я намирам за прелестна със семплото ѝ условие и малкото изчисления,които са необходими за решаването ѝ!