Делтоид

[S.B.]

В квадрата $ABCD$ е вписан делтоид $MPNQ$, като точките $M$ и $N$ са среди съответно на страните $AD$ и $BC$, т.[tex]P\in AB[/tex], т.[tex]Q\in CD , \angle PMQ = 150 ^\circ ,PN = QN = 6 cm[/tex]
Да се определи [tex]S_{ABCD }=?[/tex]

[Darina73]

[tex]S_{ABCD }[/tex] = 36 [tex]см.^{2 }[/tex]

[Darina73]

Нека правите QM и QN пресичат правата AB съответно в т.E и т.F .
Означаваме AP=x , AB=a и [tex]\angle[/tex]BFN=[tex]\beta[/tex] .
Лесно се доказва ,че [tex]\triangle[/tex]EAM[tex]\cong \triangle[/tex]PAM[tex]\cong \triangle[/tex]QDM (1) и [tex]\triangle[/tex]BFN[tex]\cong \triangle[/tex]CQN (2)

[tex]\angle[/tex]AMP+[tex]\angle[/tex]DMQ+[tex]\angle[/tex]PMQ =180[tex]^\circ[/tex]
2[tex]\angle[/tex]AMP+150[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]AMP=[tex]\angle[/tex]DMQ=[tex]\angle[/tex]AME= 15[tex]^\circ[/tex]
От (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]EPM е равнобедрен с [tex]\angle[/tex]EMP=30[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]PEM=[tex]\angle[/tex]EPM=[tex]\frac{180 ^\circ-30 ^\circ }{2} =75 ^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]EAM -правоъгълен) tg[tex]\angle[/tex]AEM=[tex]\frac{AM}{AE}[/tex] ; tg75[tex]^\circ = \frac{ \frac{a}{2} }{x} = \frac{a}{2x}[/tex]

Скрит текст: покажи

Лесно се доказва ,че tg75[tex]^\circ= 2+ \sqrt{3}[/tex]

Тогава х= [tex]\frac{a}{4+2 \sqrt{3} }[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]BFN - правоъгълен ) tg[tex]\angle[/tex]BFN=[tex]\frac{BN}{BF}[/tex] ; tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ \frac{a}{2} }{a-x}[/tex] ; tg[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{a}{2(a-x)}[/tex] (4) (зам. (3) в (4))

tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{a}{ \frac{2a}{1}-2. \frac{a}{4+2 \sqrt{3} } }[/tex] ;tg[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{a}{ \frac{2a(2+ \sqrt{3})-a }{2+ \sqrt{3} } }[/tex]

tg[tex]\beta= \frac{a(2+ \sqrt{3}) }{a(4+2 \sqrt{3}-1 )}[/tex] ;tg[tex]\beta= \frac{2+ \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} +3} . \frac{2 \sqrt{3} -3}{2 \sqrt{3} -3} = \frac{4 \sqrt{3}-6+6-3 \sqrt{3} }{12-9}[/tex]

tg[tex]\beta= \frac{ \sqrt{3} }{3} и \beta<90 ^\circ \Rightarrow \beta=30 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle[/tex]BFN е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BN=[tex]\frac{FN}{2}[/tex] ;[tex]\frac{a}{2} =\frac{6}{2}[/tex] ;a=6 см.
[tex]S_{ABCD }[/tex] =[tex]a^{2 } = 6^{2 }[/tex]=36 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2025-12-22T194912.061.png (261.83 KiB) Прегледано 6 пъти

Ще представя и моето решение:
Задачата е давана на олимпиада в Южна Корея.

Скрит текст: покажи

Някога,когато бях студентка , в часовете по "Методика на математиката" ни съветваха когато има ъгъл равен на [tex]75 ^\circ[/tex],преди да се обърнем към тригонометрията ,да се опитаме да разделим ъгъла с вътрешен лъч на два по-удобни ъгъла: например [tex]30^\circ + 45 ^\circ[/tex] или [tex]15 ^\circ + 60 ^\circ[/tex]

Нека страната на квадрата $ABCD = a$
[tex]\triangle MNQ \cong MNP[/tex] (по трети признак)[tex]\Rightarrow \angle NMQ = NMP = \frac{150 ^\circ }{2}= 75 ^\circ[/tex]
Подлагам отсечка $MQ$ на ротация с център [tex]M , \angle 60 ^\circ[/tex] по часовниковата стрелка, при която [tex]Q \rightarrow Q_{1 }[/tex]
[tex]\triangle QM Q_{1 }[/tex] е равностранен ([tex]QM = M Q_{1 }, \angle QM Q_{1 } = 60 ^\circ[/tex])
Построявам [tex]Q_{1 }H \bot MN, H \in MN[/tex]
[tex]\triangle MH Q_{1 } \cong \triangle DMQ[/tex]( по втори признак)
[tex]\Rightarrow MH = MD = \frac{a}{2} \Rightarrow HN = \frac{a}{2}[/tex] и $MH$ се явява и височина и медиана в [tex]\triangle MN Q_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle MN Q_{1 }[/tex] е равнобедрен и [tex]MQ_{1 } = N Q_{1 }, \angle Q_{1 }NM = \angle Q_{1 }MN = 15 ^\circ[/tex]
[tex]Q_{1 }N = Q_{1 } Q \Rightarrow \triangle Q Q_{1 }N[/tex] също е равнобедрен и [tex]\angle Q_{1 } QN = \angle Q_{1 }NQ = \alpha[/tex]
За [tex]\triangle MNQ[/tex] имаме:
[tex]\angle QMN + \angle MNQ + \angle MQN = 180^\circ \Leftrightarrow 75 ^\circ + 15 ^\circ + \alpha + 60 ^\circ + \alpha = 180 ^\circ \Leftrightarrow 2 \alpha = 30 ^\circ \Rightarrow \alpha = 15 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle MN Q_{1 } \cong \triangle QN Q_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow MN = QN = 6[/tex]
[tex]\begin{cases} MN = a \\ QN = 6 \end{cases} \Rightarrow a = 6[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 36$$