Еднакви триъгълници

[admin]

Да се реши задачата със знания от 7 клас.

Даден е четириъгълник ABCD с ъгли 90, 105, 90, 75. О е пресечена точка на симетралите на AB и AD, AB = AD, CD = 16 см. Намерете лицето на триъгълник AOC.

[Darina73]

Реших я без да използвам еднакви триъгълници и получих [tex]\frac{64}{3} см.^{2 }[/tex] .

[Darina73]

[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\angle[/tex]BCD=90[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ABC=105[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ADC=75[tex]^\circ[/tex]
Отбелязваме т.V така ,че ABVD е квадрат .
Тогава AO=BO=VO=DO= x (1) Да намерим x .
CO е медиана към хипотенузата в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]BCD [tex]\Rightarrow[/tex] CO=[tex]\frac{BD}{2}[/tex]=x (2)
[tex]\angle[/tex]BDC= [tex]\angle[/tex]ADC- [tex]\angle[/tex]ADB= 75[tex]^\circ-45 ^\circ=30 ^\circ \Rightarrow[/tex] катетът BC =[tex]\frac{BD}{2}[/tex]= x
Току що доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]BCO е равностранен .

ABVD -квадрат [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOV=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]COV+[tex]\angle[/tex]BOC=[tex]\angle[/tex]BOV ;[tex]\angle[/tex]COV+60[tex]^\circ =90^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]COV=30[tex]^\circ[/tex] (3)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AOC е равнобедрен с външен ъгъл [tex]\angle[/tex]COV=30[tex]^\circ[/tex] т.е.
[tex]\angle[/tex]OAC+ [tex]\angle[/tex]OCA =[tex]\angle[/tex]COV ; 2[tex]\angle[/tex]OAC=30[tex]^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]OAC=15[tex]^\circ[/tex] (4)

Вече доказахме ,че CO=VO т.е. [tex]\triangle[/tex]OCV е равнобедрен с ъгъл при върха 30 [tex]^\circ[/tex] (от (3)) ,
следователно [tex]\angle[/tex]OVC=75[tex]^\circ[/tex] (5)
От (4) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACV =90[tex]^\circ[/tex] ,значи [tex]\triangle[/tex]ACV е правоъгълен с ъгъл 15[tex]^\circ[/tex] .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ACV .
В 7 клас са учили ,че височината (СН) към хипотенузата в правоъгълен тр-к с ъгъл от 15 [tex]^\circ[/tex] е 4 пъти по-малка от хипотенузата .
CH=[tex]\frac{AV}{4}= \frac{2x}{4}= \frac{x}{2}[/tex] ; CH=[tex]\frac{x}{2}[/tex] (6)
Следващите два реда ще разглеждаме едновременно .

([tex]\triangle[/tex]BCD) [tex]BC^{2 } +CD^{2 } =BD^{2 }[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ACO) S=[tex]\frac{AO.CH}{2}[/tex]

[tex]x^{2 } +16^{2 }=4 x^{2 }[/tex]
S=[tex]\frac{x. \frac{x}{2} }{2}[/tex]

256=3[tex]x^{2 }[/tex] |:12[tex]\ne[/tex]0
S=[tex]\frac{ x^{2 } }{4}[/tex]

[tex]\frac{256}{12} = \frac{ x^{2 } }{4}[/tex]
S=[tex]\frac{ x^{2 } }{4}[/tex]

S=[tex]\frac{256}{12}= \frac{64}{3}[/tex]=21[tex]\frac{1}{3} см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Да се реши задачата със знания от 7 клас.

Даден е четириъгълник ABCD с ъгли 90, 105, 90, 75. О е пресечена точка на симетралите на AB и AD, AB = AD, CD = 16 см. Намерете лицето на триъгълник AOC.

Без заглавие - 2026-03-11T132005.165.png (395.46 KiB) Прегледано 209 пъти

[tex]\angle A = 90 ^\circ, \angle B = 105 ^\circ , \angle C = 90 ^\circ , \angle D = 75 ^\circ[/tex]
Диагоналът $BD$ разделя четириъгълника $ABCD$ на два правоъгълни триъгълника [tex]\triangle ABD[/tex] и [tex]\triangle BDC[/tex] с обща хипотенуза $BD$.
[tex]\begin{cases} \angle A = 90 ^\circ \\ AB = AD \end{cases} \Rightarrow \triangle ABD[/tex] е равнобедрен,правоъгълен и [tex]\angle ABD = \angle ADB = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \Leftrightarrow 105 ^\circ = 45 ^\circ + \angle DBC \Rightarrow \angle DBC = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \Leftrightarrow 75 ^\circ = 45 ^\circ + \angle BDC \Rightarrow \angle BDC = 30 ^\circ[/tex]

т.[tex]O \in S_{AB } \Rightarrow OA = OB \Rightarrow \triangle AOB[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle OAB = \angle OBA = 45 ^\circ \Rightarrow \angle AOB = 90 ^\circ[/tex]

т.[tex]O \in S_{AD } \Rightarrow OA = OD \Rightarrow \triangle AOD[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle OAD = \angle ODA = 45 ^\circ \Rightarrow \angle AOD = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AOD= \angle AOB =90 ^\circ[/tex] ,имат общо рамо $AO$ и са съседни ъгли [tex]\Rightarrow O \in BD[/tex]

[tex]\Rightarrow OA = OB= OD = x[/tex] ($OA$ е медиана към хипотенузата )
За [tex]\triangle DBC , CO[/tex] също е медиана към хипотенузата,[tex]\Rightarrow CO = DO = OB = x[/tex]
Построявам [tex]CH \bot DB , H \in DB[/tex]
За [tex]\triangle AHC ,CH[/tex] лежи срещу [tex]\angle CDH = 30 ^\circ \Rightarrow CH = \frac{DC}{2} \Leftrightarrow CH = \frac{16}{2} \Rightarrow CH = 8[/tex]
В [tex]\triangle DBC ,BC = \frac{DB}{2} = \frac{2x}{2} \Rightarrow BC = x[/tex] (лежи срещу [tex]\angle CDB= 30 ^\circ[/tex])
[tex]\triangle OBC[/tex] е равностранен ([tex]OB = BC = x , \angle OBC = 60 ^\circ[/tex])
Разглеждам [tex]\triangle AOC :[/tex]
[tex]AC \cap BD = M[/tex]
[tex]\triangle AOC[/tex] е равнобедрен ($AO = OC = x$ като медиани към общата хипотенуза $BD$)
[tex]\angle AOC = \angle AOM + \angle MOC = 90 ^\circ + 60 ^\circ = 150 ^\circ \Rightarrow \angle OAM = \angle OCM = 15 ^\circ[/tex]
$$S_{AOC } = S_{AOM } + S_{COM } $$
В [tex]\triangle OBC , \angle OCH = 30 ^\circ \Rightarrow CM[/tex] се явява ъглополовяща на [tex]\angle OCH[/tex]
Построявам [tex]MN \bot OC , N \in OC[/tex]
[tex]\triangle MNC \cong \triangle MHC[/tex](втори признак) [tex]\Rightarrow NC = CH , NC = 8 \Rightarrow ON = x-8[/tex]
В правоъгълния [tex]\triangle MON , \angle NOM = 60 ^\circ \Rightarrow \angle NMO = 30 ^\circ \Rightarrow OM = 2ON \Leftrightarrow OM = 2(x-8)[/tex]
[tex]S_{AOM } = \frac{OM.AO}{2} = \frac{2(x-8).x}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{AOM } = x^{2 } - 8x$$
[tex]S_{COM } = \frac{OM.CH}{2} = \frac{2(x-8).8}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{COM } = 8x - 64 $$
[tex]S_{AOC }= S_{AOM } + S_{COM } = x^{2 } - 8x + 8x - 64[/tex]
$$\Rightarrow S_{AOC } = x^{2 } - 64 $$
За да определя стойността на [tex]x^{2 }[/tex] ,ще използвам ученото в 6 клас правило,че в правоъгълния триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите.Ще го приложа за [tex]\triangle DHC:[/tex]
[tex]DC^{2 } = CH^{2 } + DH^{2 } \Leftrightarrow 16^{2 } = 8^{2 } + ( \frac{3}{2} x)^{2 } \Leftrightarrow \frac{9}{4} x^{2 } = 16^{2 } - 8^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } = \frac{4(16+8)(16-8)}{9}[/tex]
$$\Rightarrow x^{2 } = \frac{4.64}{3} $$
[tex]S_{AOC } = x^{2 } - 64 = \frac{4.64}{3} - 64 = 64( \frac{4}{3}-1) = 64. \frac{1}{3}[/tex]
$$\Rightarrow S_{AOC } = \frac{64}{3} $$