Квадрат

[nikola.topalov]

Даден е квадрат [tex]ABCD[/tex]. Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] лежат съответно на страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] на квадрата и са такива, че [tex]DM=AM+CN[/tex]. Да се намери лицето на квадрата, ако [tex]\measuredangle AMD=\alpha[/tex] и [tex]DN=a[/tex].

[Darina73]

Получих [tex]S_{ABCD } = a^{2 } .cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[Darina73]

Да построим окръжност К( т.D ; R=a ) и тя ще пресича отсечката AB в т. F и правата АВ в т.Е .
Нека DM=m и т.Т е среда на отсечката DE .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?
[tex]\triangle[/tex]AFD[tex]\cong \triangle[/tex]CND ( правоъгълни са и AD=CD ,FD=ND по построение )
Аналогично [tex]\triangle[/tex]CND[tex]\cong \triangle[/tex]AED ,тогава CN=EA

DM=AM+CN=AM+EA ; DM=EM= m [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]EMD е равнобедрен с основа DE=a
[tex]\triangle[/tex]ТMD -правоъгълен ,защото медианата МТ [ в [tex]\triangle[/tex] EMD ] се явява , височина и ъглополовяща

sin[tex]\angle[/tex]TMD=[tex]\frac{DT}{DM}[/tex] ; DM=m=[tex]\frac{DT}{sin \frac{ \alpha }{2}}= \frac{a}{2sin \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

[tex]S_{ABCD }= AD^{2 } =(m.sin \alpha ) ^{2 }= ( \frac{a}{2.sin \frac{ \alpha }{2}} .2sin \frac{ \alpha }{2} .cos \frac{ \alpha }{2} ) ^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 } .cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[stefanb]

нека S=[tex]x^{2 }[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]-[tex]CN^{2 }[/tex]
AM/x=cotg[tex]\alpha[/tex]
AM=xcotg[tex]\alpha[/tex]
x/DM=sin[tex]\alpha[/tex]
DM=x/sin[tex]\alpha[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]-[tex](x/sinα-xcotg)^{2 }[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]-[tex]x^{2 }[/tex](1-cos[tex]\alpha[/tex])/sin[tex]\alpha)^{2 }[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex](1+(1-2cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2 }[/tex])/(1-[tex]cos^{2 }[/tex]))=[tex]a^{2 }[/tex]
съкращаваме и стигаме до:
2[tex]x^{2 }[/tex](1-cos)/(1-[tex]cos^{2 }[/tex])=[tex]a^{2 }[/tex]
откъдето [tex]x^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex](1+cos[tex]\alpha[/tex])/2

[S.B.]

Даден е квадрат [tex]ABCD[/tex]. Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] лежат съответно на страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] на квадрата и са такива, че [tex]DM=AM+CN[/tex]. Да се намери лицето на квадрата, ако [tex]\measuredangle AMD=\alpha[/tex] и [tex]DN=a[/tex].

Без заглавие - 2026-04-28T165846.512.png (191.16 KiB) Прегледано 278 пъти

Скрит текст: покажи

Писала съм подробно,защото получавам различен отговор.Може би греша някъде!Ако намерите грешката,моля Ви посочете я!Аз не успях да я открия!

Нека [tex]S_{ABCD } = S \Rightarrow AB = BC = CD = DA = \sqrt{S}[/tex]
Нека [tex]AM = x , CN = y \Rightarrow DM = x+y[/tex]
$DN = a$ ( по условие)
За [tex]\triangle DCN[/tex] прилагам Питагорова теорема:[tex]DC^{2 } = DN^{2 } - CN^{2 } \Leftrightarrow DC^{2 } = a^{2 } - y^{2 } \Rightarrow DC = \sqrt{ a^{2 } - y^{2 } }[/tex]
[tex]DC = \sqrt{S} \Rightarrow \sqrt{S} = \sqrt{ a^{2 }- y^{2 } } \Leftrightarrow S = a^{2 } - y^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow y = \sqrt{ a^{2 } - S } $$
От [tex]\triangle AMD \rightarrow \frac{AM}{AD} = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{x}{ \sqrt{S} }= \tg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow x = \sqrt{S}\tg \alpha $$
От [tex]\triangle AMD \rightarrow \frac{AM}{MD} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{x}{x+y}= \sin \alpha[/tex]
Замествам получените изрази за $x$ и $y$ и получавам:

[tex]\displaystyle\frac{x}{x+y} = \sin \alpha \Leftrightarrow \displaystyle\frac{ \sqrt{S}\tg \alpha }{ \sqrt{S}\tg \alpha + \sqrt{ a^{2 }- S } } = \sin \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sin \alpha \sqrt{S} }{\cos \alpha } }{\displaystyle \frac{\sin \alpha \sqrt{S}+ \cos \alpha \sqrt{ a^{2 } - S} }{\cos \alpha } } = \sin \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\sin \alpha \sqrt{S} }{\sin \alpha \sqrt{S} + \cos \alpha \sqrt{ a^{2 } - S} } = \sin \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{ \sqrt{S} }{\sin \alpha \sqrt{S} + \cos \alpha \sqrt{ a^{2 } - S } } = 1[/tex]

[tex]\sqrt{S } = \sin \alpha \sqrt{S} + \cos \alpha \sqrt{ a^{2 } - S } \Leftrightarrow \sqrt{S}(1 - \sin \alpha) = \cos \alpha \sqrt{ a^{2 } - S }[/tex]

Повдигам на втора степен двете страни на равенството и получавам:

[tex]S (1 - \sin \alpha )^{2 } = \cos^{2 } \alpha( a^{2 } - S) \Leftrightarrow S.(1 -2\sin \alpha + \sin^{2 } \alpha) + S. \cos^{2 } \alpha = a^{2 } \cos^{2 } \alpha \Leftrightarrow[/tex]

[tex]S(1 - 2\sin \alpha + \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha ) = a^{2 } \cos^{2 } \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow 2S(1 - \sin \alpha) = a^{2 } \cos^{2 } \alpha \Leftrightarrow S = \frac{ a^{2 }(1 - \sin^{2 } \alpha) }{2(1 - \sin \alpha )} \Leftrightarrow S = \frac{ a^{2 }(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) }{2(1 - \sin \alpha) }[/tex]
$$\Rightarrow S = \frac{ a^{2 } }{2} (1 + \sin \alpha )$$

[S.B.]

Разбрах къде съм сгрешила!
Приела съм,че даденият ъгъл е [tex]\angle ADM = \alpha[/tex],a не[tex]\angle AMD = \alpha[/tex] ,както е по условие.
Ако [tex]\angle ADM = \alpha[/tex] ,тогава [tex]\angle AMD = 90 ^\circ - \alpha[/tex] ,а от там се получава и разминаването в отговора:
[tex]S_{ABCD } = \frac{ a^{2 } }{2}(1 + \cos \alpha)[/tex] , а не [tex]S_{ABCD } = \frac{ a^{2 } }{2}(1 + \sin \alpha )[/tex],както аз получавам.
Въпреки това постановката на решението е вярна и тя би дала верният отговор ако не бяха сменени ъглите.
Искрено съжалявам!