Обратно в ерата на сферите

[nikola.topalov]

В сфера [tex]S(O;R=12)[/tex] е вписана триъгълната пирамида [tex]ABCV[/tex], основата на която е правоъгълният триъгълник [tex]ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB=8\sqrt{6}[/tex] и катет [tex]BC=4\sqrt{6}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, при условие че [tex]\measuredangle BVO=60^\circ[/tex] и [tex]BV\perp BA[/tex].

[S.B.]

В сфера [tex]S(O;R=12)[/tex] е вписана триъгълната пирамида [tex]ABCV[/tex], основата на която е правоъгълният триъгълник [tex]ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB=8\sqrt{6}[/tex] и катет [tex]BC=4\sqrt{6}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, при условие че [tex]\measuredangle BVO=60^\circ[/tex] и [tex]BV\perp BA[/tex].

Без заглавие - 2026-07-08T160500.317.png (464.08 KiB) Прегледано 360 пъти

Центърът на сферата $O$ се проектира върху центъра на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност - т.$M$, която е средата на хипотенузата $AB$.Точките $A$ и $B$ принадлежат на описаната сфера [tex]\Rightarrow AO = BO = 12[/tex]
Върхът на пирамидата т.$V$ също принадлежи на сферата [tex]\Rightarrow OV = 12[/tex]

[tex]\begin{cases} OV = OB = 12 \\ \angle BVO = 60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \triangle BVO[/tex] е равностранен, [tex]\Rightarrow BV = 12[/tex]
Върхът на пирамидата $ABCV$ се проектира върху равнината на основата в т.$H$, като $VH$ е височината на пирамидата.
По условие [tex]BV \bot AB[/tex]
$BH$ е проекция на $BV$ , [tex]BV \bot AB \Rightarrow BH \bot AB[/tex] (теорема за трите перпендикуляра).

Построявам права [tex]l \begin{cases} l Z B \\ l \bot AB\end{cases}[/tex]
Правата $l$ пресича продължението на $AC$ в т.$H$
Построявам [tex]VH \bot (ABC)[/tex] ($VH$ е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината на основата [tex]\Rightarrow VH[/tex] е височината на пурамидата $ABCV$

Чертежа на равнината на основата (в дясно):
[tex]\begin{cases} \angle C = 90 ^\circ \\ CB = \displaystyle\frac{AB}{2} \end{cases} \Rightarrow \angle A = 30 ^\circ , \angle C = 60 ^\circ[/tex]

[tex]\begin{cases} \angle HBA = 90 ^\circ \\ \angle CBA = 60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \angle HBC = 30 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle HBC[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]30^\circ \Rightarrow[/tex] ако $CH = x$ то $BH = 2x$

Като приложим Питагорова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] намираме, че [tex]AC = 12 \sqrt{2}[/tex]
[tex]\triangle ABH[/tex] е правоъгълен с ъгъл срещу $BH$ равен на [tex]30^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow CH = \frac{AH}{2} \Leftrightarrow \frac{12 \sqrt{2} + x }{2} = 2x \Leftrightarrow 12 \sqrt{2}= 3x \Rightarrow x = 4 \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow 2x = 8 \sqrt{2} \Leftrightarrow BH = 8 \sqrt{2} $$

За правоъгълния [tex]\triangle BHV[/tex] прилагам Питагорова теорема:(чертежа със сферата - в ляво)
[tex]BV = 12 , VH = h , BH = 8 \sqrt{2}[/tex]
[tex]h^{2 } = BV^{2 } - BH^{2 } \Leftrightarrow h^{2 } = 12^{2 } - (8 \sqrt{2}) ^{2 } = 144 - 128 = 16 \Rightarrow h^{2 }= 16, h = 4[/tex]

[tex]V_{ABCV } = \frac{h}{3}. S_{ABC } \Leftrightarrow V_{ABCV } = \frac{h}{3}. \frac{AC.BC}{2} = \frac{4}{3}. \frac{12 \sqrt{2}.4 \sqrt{6} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCV } = 64 \sqrt{3}$$

[nikola.topalov]

Благодаря за решението! Не разбрах обаче защо ортогоналната проекция [tex]H[/tex] на върха [tex]V[/tex] на пирамидата върху равнината [tex](ABC)[/tex] лежи на продължението на [tex]AC[/tex].

[nikola.topalov]

Благодаря за решението! Не разбрах обаче защо ортогоналната проекция [tex]H[/tex] на върха [tex]V[/tex] на пирамидата върху равнината [tex](ABC)[/tex] лежи на продължението на [tex]AC[/tex].

По-точно, защо $$l\cap AC=\text{ортогоналната проекция на}\ V\ \text{върху}\ (ABC)?$$

[S.B.]

Представила съм решение придружено с подробни чертежи и нямам какво да добавя.Вие имате пълното право аргументирано да оборите моето решение.

[math10.com]

piramida.png (72.78 KiB) Прегледано 196 пъти

[tex]\triangle VBO[/tex] е равностранен (равноедрен [tex]OB=OV[/tex] , с [tex]\angle BVO=60 ^\circ[/tex]) [tex]\Rightarrow VB=OA=OB=12[/tex]
Нека [tex]M[/tex] е проекцията на [tex]O[/tex] в равнината на [tex]ABC[/tex]
[tex]\triangle OMA \cong \triangle OMB \cong OMC[/tex] по 4-ти признак [tex]\Rightarrow MA=MB=MC=4\sqrt6[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Rightarrow M[/tex] е средата на хипотенузата [tex]AB[/tex]
Нека [tex]H[/tex] е проекцията на [tex]V[/tex] в равнината на [tex]ABC[/tex]
[tex]VB \bot AB ; VH \bot ABC \Rightarrow HB \bot AB[/tex] по теорема за 3-те перпендикуляра
Нека [tex]VH=x[/tex] , за [tex]\triangle VBH[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow BH=\sqrt{144-x^2}[/tex]
за [tex]\triangle MBH[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow MH=\sqrt{240-x^2}[/tex]
за [tex]\triangle AOM[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow OM=4\sqrt{3}[/tex]
за [tex]\triangle ABC[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow AC=12\sqrt{2}[/tex]

trapec.png (42.69 KiB) Прегледано 196 пъти

за [tex]\triangle OQV[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow 144=240-x^2+x^2-8\sqrt3.x+48[/tex]
[tex]\Rightarrow VH=\frac{144}{8\sqrt3}=6\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AC.BC}{2}=\frac{4\sqrt6 .12\sqrt2}{2}=48\sqrt3[/tex]
[tex]\Rightarrow V=\frac{S_{ABC}.VH}{3}=288[/tex]


P.P. @nikola.topalov все още не ми е отговорил на въпроса