Перпендикуляр през ортоцентъра

[admin]

Нека H е ортоцентърът на остроъгълния триъгълник ABC, а M е средата на страната BC. Правата през H, перпендикулярна на правата HM, пресича правите AB и AC съответно в точките P и Q.

Да се докаже, че:
HP = HQ, т.е. H е среда на отсечката PQ.

[Гост]

Взимаме A' да е симетрична на H спрямо M. Добре известно е, че A' е диаметрално противоположна на A в описаната около ABC окръжност. Тогава лесно се вижда, че A'HPB и A'HQC са вписани. Оттук лесно се доказва, че [tex]\angle[/tex]PA'H=[tex]\angle[/tex]QA'H[tex]\Rightarrow[/tex]A'H е едновременно височина и ъглополовяща в PA'Q[tex]\Rightarrow[/tex]HP=HQ

[Гост]

Перпендикуляр през ортоцентъра.jpg (204.93 KiB) Прегледано 235 пъти