Дадена е сфера, в която са вписани 3009 хорди

[portokal]

Дадена е сфера, в която са вписани 3009 хорди
като всяка хорда пресича точно една друга хорда в средата й.
Докажете че поне две от хордите са равни
Задачата е сравнително лесна

[martin123456]

нека осначим имената и дължините на хордите с [tex]a_i[/tex], а съответните части на които се дели хората пресичаща [tex]a_i[/tex] в средата и с [tex]b_j[/tex] и [tex]c_j[/tex]. Ясно, че [tex]j[/tex] е функцията на [tex]i[/tex]. Двете хорди определят окръжност. В сила са зависимостите [tex]\frac{a_i^2}{4}=b_jc_j[/tex] и [tex]b_j+c_j=a_j[/tex].
Имаме [tex]b_jc_j \le \frac{(b_j+c_j)^2}{4}=\frac{a_j^2}{4}[/tex]. Toва значи че [tex]a_i \le a_j[/tex].
Тъй като [tex]\forall i \exist[/tex] точно 1 [tex]j[/tex], то разписвайки тези неравенства [tex]\forall i[/tex] получаваме, че от ляво стоят уникални индекси, а от дясно също, понеже иначе ще има 2 хорди пресичащи дадена [tex]a_i[/tex] в средата ѝ.
Това значи че 2 от хордите ще се окажат равни, както и всички между тях.

[portokal]

нека осначим имената и дължините на хордите с [tex]a_i[/tex], а съответните части на които се дели хората пресичаща [tex]a_i[/tex] в средата и с [tex]b_j[/tex] и [tex]c_j[/tex]. Ясно, че [tex]j[/tex] е функцията на [tex]i[/tex]. Двете хорди определят окръжност. В сила са зависимостите [tex]\frac{a_i^2}{4}=b_jc_j[/tex] и [tex]b_j+c_j=a_j[/tex].
Имаме [tex]b_jc_j \le \frac{(b_j+c_j)^2}{4}=\frac{a_j^2}{4}[/tex]. Toва значи че [tex]a_i \le a_j[/tex].
Тъй като [tex]\forall i \exist[/tex] точно 1 [tex]j[/tex], то разписвайки тези неравенства [tex]\forall i[/tex] получаваме, че от ляво стоят уникални индекси, а от дясно също, понеже иначе ще има 2 хорди пресичащи дадена [tex]a_i[/tex] в средата ѝ.
Това значи че 2 от хордите ще се окажат равни, както и всички между тях.

Така,
значи ти си намерил първо, че [tex]a_i[/tex]≤[tex]a_j[/tex] тоест хордата, която е пресечена в средата е по-малка или равна на хордата,която я пресича. Aко продължим написаното [tex]a_j[/tex] също трябва да е пресичана от друга хорда в средата й тогава [tex]a_j[/tex] ще е по-малка или равна от хордата, която я пресича в средата и така докато станат 3009. Или аз не разбирам нещо от решението или е грешно
П.С. не съм проверявал доказателствата мн съм изморен; приех че са вярни, но дори и [tex]a_i[/tex]≤[tex]a_j[/tex] не мисля, че задачата е решена

[allier]

Точно това, което си написал е решението. За последната хорда в цикъла, по-голяма или равна на всички останали, пак трябва да има хорда по-голяма или равна на нея. Оттук следва, че поне две са равни.

[portokal]

Точно това, което си написал е решението. За последната хорда в цикъла, по-голяма или равна на всички останали, пак трябва да има хорда по-голяма или равна на нея. Оттук следва, че поне две са равни.

Така е да

[martin123456]

ами имаме 2 пермутации на числата от 1 до 3009
те са такива че първата е по-малка или равна със всеки член във втората
значи ако няма равни е невъзможно

[portokal]

Да, Мартине, браво