Всички естествени числа n, за които 5^n-4^n се дели на 61

[portokal]

Да се намерят всички естествени числа n, за които [tex]5^n-4^n[/tex] се дели на 61

[allier]

Показателят на числото 1,25 по модул 61 е 3. Значи отговорът е всички, кратни на 3.

[portokal]

Показателят на числото 1,25 по модул 61 е 3. Значи отговорът е всички, кратни на 3.

може ли да ми го обясниш по-просто тепърва навлизам в този материял
защо точно числото 1,25 ? и кой показател ?

[allier]

Да, ще ти обясня. Ако имаш число a и модул m, взаимно прост с a, най-малкото естествено x, такова че [tex]m/a^x-1[/tex] се нарича показател на a по мoдул m. Основното свойство е, че ако [tex]m/a^y-1[/tex], то y задължително се дели на този показател.

В случая търсим показателят на числото [tex]\frac{5}{4 }[/tex]. Това изглежда да е дроб, по-принцип понятията показател и модул са валидни за цели числа. Но когато модулът е взаимно прост със знаменателя, дробта е еквивалентна на цяло число. Например, 1/3 по mod 5 е равно на 2, защото 2.3 -1 = 5 се дели на 5. Въобще, за всяко a взаимно просто с m, [tex]\frac{1}{a }[/tex] е равно на цялото число b, за което m/ab-1.

По този начин задачата се свежда до намиране на показателят на фиктивното число 5/4 по модул 61. От теоремата на Ойлер, показателят винаги дели [tex]\varphi(61)=60[/tex]. Често се случва и самото това число - 60, да е показател, но в случая забелязваш, че [tex]5^3-4^3=61[/tex], т.е. показателят е 3. От теоремата за показател следва, че отговорът е всички числа, делящи се на 3.

Може да се напише и решение, в което не се използва показател, ами просто се симулират моментите от доказателството на свойствата му.

[portokal]

благодаря много

[rashi101]

Здравейте, следях темата с интерес и искам да задам няколко въпроса, за да съм сигурна, че съм разбрала правилно записа.
[tex](l,n)=1[/tex] ли е единственото условие [tex]\frac{k}{l}\equiv m(mod n)[/tex] да е еквивалентно на [tex]ml-k\equiv0(mod n)[/tex]?
[tex]\frac{k}{l}\equiv1(modn)[/tex] и [tex]\frac{l}{k}\equiv1(modn)[/tex] едно и също ли е?
Мoже ли този запис да се използва при ЕМТ,ЗМС и т.н.?

[allier]

Хубави въпроси. Те са свързани със свойствата на сравненията в теория на групите, но ще ти обясня на елементарен език.

По принцип идеята на този запис е следната. Ако имаме сравнението [tex]ax \equiv ay(mod m)[/tex], за да съкратим на а, и да получим съответно [tex]x \equiv y(mod m)[/tex], е необходимо a и m да са взаимно прости. Сега, ако [tex]\frac{x}{y }[/tex] считаме, че е число k, то характеристичното му свойство е [tex]ky=x[/tex]. За да можем свободно да прилагаме тази логика при сравнения трябва y и m да са взаимно прости.

Ето един пример: [tex]\frac{7}{2 }(mod 6)[/tex]. Ако [tex]\frac{7}{2 } \equiv k(mod 6)[/tex], то би трябвало [tex]7 \equiv 2k(mod 6)[/tex], което няма решения. Ако числителят беше 8, а не 7, то би се получило [tex]8 \equiv 2k(mod 6)[/tex], което е еквивалентно на [tex]4 \equiv k(mod3)[/tex], което има решение (mod 3) и две!! решения (mod 6). Така че за да няма двусмислици и за да има винаги решение, записът [tex]\frac{x}{y }[/tex] има смисъл при y и m взаимно прости. Тогава съществува единствено решение на еквивалетното сравнение.

[allier]

Накратко, по конкретните ти въпроси, смятам, че си разбрала правилно. За еквивалентността на реципрочните дроби, ако и числителят, и знаменателят са взаимно прости с модула, са еквивалентни.