Задача от СУфийския

[prodanov]

[tex]f(x) =
\frac
{
x^2 + mx + 4
}
{
x^2 + x + 4
}[/tex]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър [tex]m[/tex] ,за които при всеки избор на реалните числа [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] числата [tex]f(a)[/tex], [tex]f(b)[/tex] и [tex]f(c)[/tex] са страни на триъгълник.

[amsara]

Кой е този СУфийски Или Софийски университет или СУ само, ама двете накуп са голям майтап

[prodanov]

Хайде дайте някой жокер, интерестна е.

[ksen_93]

Тъй като ако вземем числа a,b,c,които са естествени и искаме да е изпълнено търсеното,то => m трябва да е цяло.Тъй като задачата е изпълнена за всички a,b и c,избираме произволни,например а=-1, b=0 , c=1
=> f(a) = 5 - m / 4 (1)
f(b) = 1
f(c) = m+5 / 6
Toгава от неравенство в триъгълник f(a) + f(b) < f(c)
f(b) + f(c) < f(a)
f(c) + f(a) < f(b)
Откъдето получаваме m<3
m>-7/5
Взимайки за a,b и c съответно 0,1 и 2 получаваме аналогично m>1/31, т.е. m>0
=>единствените стойности за m са 1,2 и 3
m=1 oчевидно е решение.
От случай (1) имаме 6/ m+5
т.е. m=1 , m =7 и т.н.
=> с дадените ограничения m=1
=> eдинственото решение е m=1

[allier]

От това последното решение нищо не разбрах - защо трябва m да е цяло? И защо след като сме получили m<3, по-долу пише, че единствените възможни стойности са 1,2,3 (след като е строго по-малко от 3).

[ksen_93]

Ами според мен изискването m-цяло идва от това,че исканото е изпълнено за всички а,b и c - реални. А относно m<3 се извинявам,наистина стойностите са 1 и 2 само.

[allier]

Това за m=3 не е проблем въобще. Въпросът е как точно получи, че m е цяло число. Ти казваш - избираме a,b,c - естествени, и оттук следва, че и m е същото. Как по-точно следва?

[drago]

M...да, хубава задачка. Чак я реших докрай, ако не съм сбъркал. .
Ясно е, че трябва някак да търсим множеството на всички стойности на ф-ята. Фиксираме m, нека има s т.ч. (x^2 +mx+4)/(x^2+x+4) = s <=> (s-1)x^2+(s-m)x+4(s-1)=0. За да има решение относно x <=> D>=0, като се разпише става (s-(4/3-m/3))(s-(m/5+4/5))<=0 <=>
s принадл. [min(4/3-m/3,m/5+4/5), max(4/3-m/3,m/5+4/5)]. Сега малко анализ: този интервал трябва да е надясно от 0 => m от (-4,4). Ako този интервал е [a,b], а<=b трябва 2a>b, за да може всеки три числа от него да са страни на триъгълник. Тука малко случаи и сметки и става:
m от (-4/11;28/13)

[ganka simeonova]

M...да, хубава задачка. Чак я реших докрай, ако не съм сбъркал. .
Ясно е, че трябва някак да търсим множеството на всички стойности на ф-ята. Фиксираме m, нека има s т.ч. (x^2 +mx+4)/(x^2+x+4) = s <=> (s-1)x^2+(s-m)x+4(s-1)=0. За да има решение относно x <=> D>=0, като се разпише става (s-(4/3-m/3))(s-(m/5+4/5))<=0 <=>
s принадл. [min(4/3-m/3,m/5+4/5), max(4/3-m/3,m/5+4/5)]. Сега малко анализ: този интервал трябва да е надясно от 0 => m от (-4,4). Ako този интервал е [a,b], а<=b трябва 2a>b, за да може всеки три числа от него да са страни на триъгълник. Тука малко случаи и сметки и става:
m от (-4/11;28/13)

Ти си я решил, но аз нищо не разбрах.
"Малко анализ", "Малко случаи и сметки"...

[allier]

"Малко анализ"-ът е ок - за всяка стойност на x, функцията е положителна. "Малко случаи и сметки" са всъщност много случаи и сметки, но пак излиза по някое време интервал за отговор.

Ключовият момент е това за интервала - ако функцията приема всички стойности в даден интервал (а тя ги приема, защото е непрекъсната), то единственото условие от всеки три числа да става триъгълник е горната граница на интервала да е по-малка от удвоената долна граница.

[ksen_93]

Това за m=3 не е проблем въобще. Въпросът е как точно получи, че m е цяло число. Ти казваш - избираме a,b,c - естествени, и оттук следва, че и m е същото. Как по-точно следва?

Грешката е моя,заблудила съм се явно.Съжалявам.Ще помисля и ако ми дойде нещо друго на ум,ще постна

[drago]

π

M...да, хубава задачка. Чак я реших докрай, ако не съм сбъркал. .
Ясно е, че трябва някак да търсим множеството на всички стойности на ф-ята. Фиксираме m, нека има s т.ч. (x^2 +mx+4)/(x^2+x+4) = s <=> (s-1)x^2+(s-m)x+4(s-1)=0. За да има решение относно x <=> D>=0, като се разпише става (s-(4/3-m/3))(s-(m/5+4/5))<=0 <=>
s принадл. [min(4/3-m/3,m/5+4/5), max(4/3-m/3,m/5+4/5)]. Сега малко анализ: този интервал трябва да е надясно от 0 => m от (-4,4). Ako този интервал е [a,b], а<=b трябва 2a>b, за да може всеки три числа от него да са страни на триъгълник. Тука малко случаи и сметки и става:
m от (-4/11;28/13)

Ти си я решил, но аз нищо не разбрах.
"Малко анализ", "Малко случаи и сметки"...

Ами какво по-точно не разбра? Доста се позамислих, дали да отговарям, но горния коментар звучи малко гордо, а не би следвало. Силно се надявам всичко да си разбрала, но да си го написала по инерция, поради сбития начин на решаване. Само, че това тук не е сборник, за който човек е броил пари и има основание да е недоволен, ако нещо не е обяснено добре, а форум. Хареса ми задачата, стори любопитна, и маркирах решението и, дотолкова доколкото съм имал време.
Решението е абсолютно логично, няма чак толкова за досещане.
1. Ясно е, че трябва да се изследва множеството от стойностите на ф-ята. Даже и да не се намери експлицитно, трябва поне някаква зависимост му долната и горната граница на интервала. Че е интервал е ясно от съображения за непекъснатост и това, че границата е 1 при x->+-безкр. 2. Този интервал трябва да има свойството: всеки три числа от него трябва да са страни на триъгълник. От тук, ако интервала е [a,b] =>, a,b>0, 2a>b. Ако възниква въпрос: защо интервала е затворен, засега да го подминем. И сега остава същественото: да намерим множ. от стойности. И ключовият момент бих казал, че е тук, защото са възможни 2 подхода: директно изследване-намиране най-малка и най-гол. стойност с производни и т.н. и това сигурно ще стане, но с повече сметки. По тънкия начин е: да видим за кои s: f(x)=s има решение относно x. Това ме накефи при тази задача. Става квадратно у-ние относно x, дискриминантата е чудесна(разлика от 2 квадрата) и трябва да е >=0, от там се получават s-овете: в интерв. [min(4/3-m/3,m/5+4/5), max(4/3-m/3,m/5+4/5)]. И случаите не са толкова много, а само 1 и абсолютно логичен, отговор на въпроса: кое от двете числа е по-малко. Това дава m<,>=1.Всъщност от тук нататък задачата е решаване на 3 линейни неравенства. И още нещо: като бонус в това решение няма нужда от съобръжения за непрекъснатост.
Надявам се, че така е по-ясно!