Разбиване на (0,1)

[drago]

Възможно ли е отворения интервал (0,1) да се представи като обединение на не повече от изброимо много непресичащи се затворени интервали ?
т.е. дали съществува редица от краен или безкраен брой затворени интервали [tex]F_1, F_2,...[/tex],за които [tex]F_i \cap F_j =\empty, i \ne\j[/tex], така че [tex](0,1)=F_1 \cup F_2 \cup ...[/tex]

[martin.nikolov]

Не може. С крайно много очевидно не може, защото тяхното обидинение ще е затворено. За безкрайно, разглеждаме множеството от крайните точки на тези интервали и прилагаме Baire category theorem. Или без теоремата адаптираме доказателството за конкретния случай, което не е дълго.

[drago]

Хмм..., аз те разбирам, макар че това повече прилича на хинт към упражнение от учебник по функционален анализ, отколкото на скица на решение. И всъщност нищо не говори на човек, който не е чувал за Банахови пространсва и теорема на Бер за категориите. А не ми беше това целта , защото задачата има и кратко елементарно решение.
Всъщност скоро я бях казал на един приятел и той ми спомена, че я е виждал в една такава книга. Всъщност аз наскоро я видях в блога на Terry Tao. Преди да дам препратката, малко по-подробен коментар по хинта на Мартин, а всъщност такова е и решението дадено там.
Така... множеството от краищата на интервалите(да го означим с Е) е:
1. Затворено(допъпнението му е обединение от отворени множества)
2. Всяка точка от Е е точка на натрупване в Е, в смисъл, че всяка околност на точка от Е съдържа поне 1 друга точка от Е (а значи и безбройно много точки от Е). Това се съобразява от факта че затворените интервали покриват цялото (0,1).
Такива множества(удовл. 1 и2) се наричат съвършени. За тях е известен факта, че не могат да са изброими (ако са подмножества на пълни пространства- без "дупки", каквото всъщност е [tex]R[/tex]. И не че доказателството се опира на теоремата на Бер, просто и двете имат съвсем сходни доказателства. И всъщност всички тези твърдения, със сравнително леки трикове експлоатират факта, че вложени едно в друго затворени интервали/кълбета/затв. множества имат обща точка, стига пространството, в което се намират да няма "дупки", а [tex]R[/tex] няма.
Така, сега за който се интересува повече: (има и разни обобщения на задачата)
http://terrytao.wordpress.com/2010/10/0 ... intervals/

А за който иска доказатество без разни термини, като съвършени мн., теореми на Бер и др. такива щуротии, пак там:
http://terrytao.wordpress.com/2010/10/0 ... ment-47427
Всъщност подобно беше и моето разсъждение преди да хайлайт-на това посочено в първия линк.

Весели празници!, Повече Здраве и Късмет през Новата 2011!

[ptj]

Възможно ли е отворения интервал (0,1) да се представи като обединение на не повече от изброимо много непресичащи се затворени интервали ?
т.е. дали съществува редица от краен или безкраен брой затворени интервали [tex]F_1, F_2,...[/tex],за които [tex]F_i \cap F_j =\empty, i \ne\j[/tex], така че [tex](0,1)=F_1 \cup F_2 \cup ...[/tex]

Възможно е.Дължи се на факта, че отворения и затворения интервал са с еднаква мощност. Може да се направи такава конструкция от непресичащи се затворени интервали, че което и да е реално число между 0 и 1 да попадне в един от тях след краен брой итерации.

П.П.
1.)Разделяме интрервалите на групи с брой във всяка равен на степените на двойката.
2.)Всяка следваща група е с дължина на интервала точно 1/4 от предходната.
3.)При всяка итерация отворен итервал се покрива частично от затворен с дължина половината от него, като средите им съвпадат, т.е. получават се два нови отворени с половинки дължини.
4.)Първата итерация е [tex][0.25 ;0.75 ][/tex] (дължина 0.5),
втората -> [tex][0.125-\frac{0.125}{2 };0.125+\frac{0.125}{2 }][/tex] (дължина 0.125),
третата -> [tex][0.875+0.125-\frac{0.125}{2 };0.875+\frac{0.125}{2 }][/tex] (дължина 0.125)
четвъртата -> [tex][0.03125-\frac{0.3125}{2 } ;0.03125+\frac{0.03125}{2 }][/tex] (дължина 0.03125)
...

[allier]

След като вече има решение, че не е възможно, защо си написал такава глупост, ptj? Или дай конструкция, или намери грешка в разсъжденията по-горе.

[ptj]

Дадох конструкция. Не мога да намеря грешка в теория, с която не съм запознат.

П.П.Още не съм почнал новогодишната наздравица, че да пиша глупости.

П.ПП. Ако не сте забелязали още- конструкцията е свързана с двоичен запис.

[drago]

Дадох конструкция. Не мога да намеря грешка в теория, с която не съм запознат.

П.П.Още не съм почнал новогодишната наздравица, че да пиша глупости.

А е време ...
Колкото до грешката: тя е следната: по този начин няма да покриеш всички точки в (0,1) и ще ти кажа кои ще останат. Ако работим с троична с-ма и всяка точка в (0,1) я прдставим като [tex]0,a_1a_2..,[/tex] [tex]a:={0,1,2}[/tex] ще останат тези точки, които са с безкраен брой цифри и нямат 1-ца в цифрите си. Това е точно Канторовия дисконтиниум, като от него са махнати краищата на твоите интервали (които са изброими). Като цяло тези точки, които остават извън твоето покритие даже имат мощността на континиума. Което се очаква, понеже, ако са изброимо и тях може да покрием с изродени в точки затворени интервали.

Наздраве

[ptj]

О.К. ще пийна една за твое здраве.