Теория на числата

[tj_love]

Да се намерят всички двойки прости числа p и q, такива че числата А= 7p + q и B= pq + 11 също са прости числа

[Ксения Цочева]

От [tex]B=pq + 11[/tex] ако p≥3 и q≥3 са прости,то те са нечетни => то [tex]pq+11[/tex] е четно и по-голямо от 2,т.е. не може да е просто.
=> Поне едно от числата p или q е по-малко от 3 просто,т.е. 2.
Нека p=2.
Тогава [tex]A=14+q[/tex]
[tex]B=2q+11[/tex] Очевидно q=3 e решение и от тук двойката (2,3)
Нека q>3.Тогава от q-просто q≡1,2(mod 3)
Ако q ≡1(mod 3) [tex]q=3k+1 => A=14 + 3q + 1 = 15 + 3q[/tex] ≡ 0 [tex](mod 3)[/tex] противоречие с А-просто
Ако q≡2(mod 3) [tex]q=3l+2 => B=6l+15[/tex]≡[tex]0 (mod 3)[/tex] противоречие с B-просто.

Нека сега q=2
[tex]A=7p+2[/tex]
[tex]B=2p+11[/tex]
p=3 е решение
Нека p>3 и => p ≡1,2(mod 3)
Ако p≡1 [tex]p=3k + 1 => A=7(3k+1) + 2=21k + 9[/tex] ≡[tex]0(mod 3)[/tex] противоречие
Ако p≡2 [tex]p=3l+2 => B=2(3l+2) + 11 = 6l + 15[/tex] ≡ [tex]0(mod 3)[/tex] противоречие

=> Двойките числа са (2,3) (3,2)