Интересно неравенство

[admin]

Ако [tex]a, b, c[/tex] са реални положителни числа, за които: [tex]abc=1[/tex], да се докаже, че:
[tex]\frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+c}\leq(\frac{2}{1+a})^2+(\frac{2}{1+b})^2+(\frac{2}{1+c})^2[/tex]

[admin]

Задачата е била предложена в стария форум от ins-, но е останала без решение.

[mkmarinov]

Полагаме [tex]x=\frac{2}{1+a}; y=\frac{2}{1+b}; z=\frac{2}{1+c}[/tex]. И трите са по-малки от 2.
[tex]abc=1 => (2-x)(2-y)(2-z)=xyz[/tex]. Като разкрием скобите:
[tex]8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-2xyz=0[/tex]. Нека си го запомним.

А неравенството придобива вида
[tex]x^2-x+y^2-y+z^2-z \ge 0[/tex]
Еквивалентно на
[tex](x+y+z)^2-(x+y+z)-2(xy+yz+zx) \ge 0[/tex]
От запомненото заместваме xy+yz+zx:
[tex](x+y+z)^2-(x+y+z)+8-4(x+y+z)-2xyz \ge 0[/tex]
[tex](x+y+z)^2-5(x+y+z)-2xyz+8 \ge 0[/tex].

От [tex](2-x)(2-y)(2-z) \le (2-\frac{x+y+z}{3})^3[/tex] (СА-СГ) =>
[tex]-2xyz \ge -2(2-\frac{x+y+z}{3})^3[/tex]

Като заместим горе:
[tex](x+y+z)^2-5(x+y+z)-2(2-\frac{x+y+z}{3})^3+8 \ge 0[/tex]. [tex]\frac{x+y+z}{3}=u < 2[/tex]
За да ограничим u още, [tex]\frac{x+y+z}{3}=\frac{2}{3}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}) \ge 1[/tex] - и това го имаше като задачка в стария форум.
[tex]9u^2-15u-2(8-12u+6u^2-u^3)+8 \ge 0[/tex]
[tex]2u^3-3u^2+9u-8 \ge 0[/tex]
[tex]2u^3-2u^2-(u^2-u)+8u-8 \ge 0[/tex]
[tex](2u^2-u+8)(u-1) \ge 0[/tex]
Което очевидно е изпълнено. Равенство при [tex]\frac{x+y+z}{3}=1[/tex].

(Едва ли е трудно и с Лагранж)

[Станислав]

(Едва ли е трудно и с Лагранж)

Както и с UVW

[ins-]

Само да отбележа - задачата не е моя. Изпрати ми я един приятел от Украйна - Назар Сердюк.
Спомена, че е открил по-силно неравенство и затова не го е радвала. Прилагам неговото решение.

[inveidar]

Ето ви и моето решение:

inv.JPG (90.65 KiB) Прегледано 897 пъти

[admin]

Някой сеща ли се за друго решение?

[inveidar]

Вие знаете ли друго? Ако да, то дайте да го видим!

[Skull]

Emi kato gledam zadachata,spored men nai lesniq nachin za dokazvane e chrez mathematical strong induction i smqtam, 4e nqma da izleze i polovin stranica

[inveidar]

Emi kato gledam zadachata,spored men nai lesniq nachin za dokazvane e chrez mathematical strong induction i smqtam, 4e nqma da izleze i polovin stranica

Аз пък смятам, че това са глупости на търкалета!!!

[Станислав]

И не само ти!

[abs]

Полагаме [tex]x = \frac{2}{1+a}; y= \frac{2}{1+b}; z=\frac{2}{1+c}[/tex]

Ще използваме, че [tex]f(u)=u^2 -u + 1\ge u[/tex] [tex](*)[/tex]

Преобразуваме даденото до вида: [tex](x^2 -x +1) + (y^2 -y +1) + (z^2 -z +1) \ge 3[/tex]

Като използваме [tex](*)[/tex], за лявата страна [tex]l[/tex] на последното имаме: [tex]l\ge x+y+z[/tex]

За да завършим е достатъчно да докажем, че [tex]l\ge 3[/tex]

//п.п. надявам се да е вярно.

[inveidar]

Не е. Трябва да докажеш, че [tex]x+y+z\ge 3[/tex]!!!

[mkmarinov]

За да завършим е достатъчно да докажем, че [tex]l\ge 3[/tex]

Което е еквивалентно на исканото в условието . Полезно заключение .

[abs]

Да, разбира се, че трябва да се докаже, че [tex]x+y+z \ge 3[/tex]