Косинуси

[Троян]

Задача. Да се намери най-голямото [tex]k\in \mathbb{N}:[/tex] при всеки избор на множество [tex]X[/tex] от [tex]k[/tex] компланарни вектора в [tex]\mathbb{R}^3,[/tex] съществува вектор [tex]v_{X}\in \mathbb{R}^3[/tex] такъв, че ъглите между [tex]v_{X}[/tex] и векторите от [tex]X[/tex] имат нечетни рационални косинуси.

[mkmarinov]

Що ще рече "нечетни рационални" косинуси?

[Троян]

Числа от вида [tex]\frac{m}{n}[/tex], където [tex]m,n[/tex] са нечетни цели числа.

[Троян]

Изискването за компланарност на векторите от множеството [tex]X[/tex] е излишно. По-общо може да се разгледа следната задача: Нека [tex]n\ge 2[/tex] е естествено число. Да се намери най-голямото [tex]k\in \mathbb{N}:[/tex] при всеки избор на множество [tex]X[/tex] от [tex]k[/tex] вектора в [tex]\mathbb{R}^n,[/tex] съществува вектор [tex]v_{X}\in \mathbb{R}^n[/tex] такъв, че ъглите между [tex]v_{X}[/tex] и векторите от [tex]X[/tex] имат нечетни рационални косинуси (синуси).

[Троян]

Изискването за нечетност при [tex]n\ge3[/tex] е несъществено. По-общо може да се разгледа следната:
Задача. Нека [tex]n\ge 2[/tex] е естествено число. Да се намери най-голямото [tex]k\in \mathbb{N}:[/tex] при всеки избор на множество [tex]X[/tex] от [tex]k[/tex] вектора в [tex]\mathbb{R}^n[/tex], съществува вектор [tex]v_X\in \mathbb{R}^n[/tex] такъв, че ъглите между [tex]v_X[/tex] и векторите от [tex]X[/tex] имат рационални косинуси (синуси).

[Троян]

В последната задача трябва да се изисква [tex]v_X[/tex] да е ненулев вектор.


Решение на 1-та задача : [tex]n=3\Rightarrow k=2[/tex]. В противен случай можем да изберем [tex]X=\{v_1,v_2,v_3\},\ v_1+v_2=-v_3,\ |v_1|=|v_2|=|v_3|=1[/tex] и нека [tex]\varphi_i=\angle(v_X,v_i),\ i=1,2,3[/tex]. Умножаваме скаларно с [tex]v_X[/tex] равенството [tex]v_1+v_2=-v_3[/tex] и получаваме: [tex]\sum_{i}\cos\varphi_i=0\Rightarrow \sum_{i}\frac{m_i}{n_i}=0[/tex], което е невъзможно при нечетни [tex]m_i,n_i[/tex].