Разстояния между 20 точки

[Троян]

Задача. В [tex]\mathbb{R}^3[/tex] са избрани [tex]20[/tex] точки така, че разстоянията между всеки две от тях са естествени числа. Да се докаже, че поне 19 от разстоянията са четни.

[Троян]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5928

[drago]

Ако стъпим на това: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5928
може да преведем задачата така:
Даден е пълен граф с 20 върха, боядисваме го в 2 цвята(бял, черен; съответстват на четно нечетно разстояние) така че белите ребра са не повече от 18. Да се докаже, че има 5-клика в черно (5 точки всеки две от тях свързани с черно ребро).
Оценката е много груба- има 11-клика в черно, съответно това число 19 от условието може да се вдигне.

[Троян]

Да, това е тривиална оценка понеже се акцентира на намиране на долна граница на четните разстояния. Точната долна граница е трудоемка работа и да си призная не съм я търсил. Построяване на пример който да удовлетворява условието с нетривиалната долна граница въобще казано е необозримо Интересно е да се види все пак чрез графи колко може да се подобри тази оценка. Например ако се разгледа следната - [tex]k[/tex] точки в [tex]\mathbb{R}^3[/tex] разстоянията между всеки две от които са естествени. Тогава тривиалната оценка на четните разстояния е [tex]\frac{k(k-1)}{20}[/tex].