Докажете, че 2-те прави имат обща точка.

[admin]

Върху страните на [tex]\Delta ABC[/tex] са дадени точки [tex]A_{1},A_{2}\in BC;B_{1},B_{2}\in CA;C_{1},C_{2}\in AB[/tex].

Да се докаже, че ако [tex]\Delta A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] и [tex]\Delta A_{2}B_{2}C_{2}[/tex] имат общ медицентър, то [tex]A_{1}B_{1}[/tex] и [tex]A_{2}B_{2}[/tex] имат обща точка.

[admin]

Задачата е предложена в стария форум от Пафнутий.

[pipi langstrump]

Понеже G e медицентър, значи за произволна точка O от равнината ще имаме OG = 1/3(OA1 + OB1 + OC1)=1/3(OA2 + OB2+ OC2)или като извадим почленно става A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .
Нека без огр. на общн. точките A1 и A2, и C1и C2 да са разположени, както са на чертежа.
Сега нека да видим нагледно защо A1A2 + B1B2 не може да лежи на правата, на която лежи C1C2, ако B1 e "под" B2

Векторът A1A2 + B1B2 трябва да лежи между A1A2 и B1B2, следователно ако предположим, че A1A2 + B1B2 може да легне на правата, успоредна на AB, то A1A2 и B1B2 трябва да лежат в двете различни полуравнина, определени от тази права. Обаче те винаги лежат в горната, защото както и да изменяме ъгъла при върха С, [tex]\alpha[/tex] винаги ще е по-голяма от нула и значи B1B2 никога няма да може да мине "отдолу". По същия начин и векторът A1A2 винаги ще лежи в горната полуравнина.
Значи допускането, че отсечките A1b1 и А1B2 нямат обща точка води до това, че медицентровете на тр. не съвпадат, което е противоречие с условието. Значи те имат обща точка.