Граница (авторска)

[Mechkov]

Нека [tex]n \in \mathb{N}[/tex] е дадено. И нека [tex]{\alpha}_1, {\alpha}_2, ... {\alpha}_n[/tex] са ъгли в радиани с положителна стойност. Да се намери [tex]lim_{ {{\Sigma}^n_{i = 1} {\alpha}_i} \rightarrow 0}[/tex] [tex]\frac{{\Sigma}^n_{i = 1} \sqrt{1 - cos {\alpha}_i}} {{\Sigma}^n_{i = 1} {\alpha}_i}[/tex]

Търси се решение без развиване в степенни редове и т.н. Т.е. да е по силите на 11 - 12-класник.

[pipi langstrump]

Нещо не схващам. Как така безкрайна сума от положителни числа ще клони към нула .Може ли да напишеш по ясно условието? И какво значи n да е дадено, границата не трябва ли да е n--> \infty ?

[drago]

Нещо не схващам. Как така безкрайна сума от положителни числа ще клони към нула .Може ли да напишеш по ясно условието? И какво значи n да е дадено, границата не трябва ли да е n--> \infty ?

Границата не е по n. Клони към 0 величината, равна на сумата от алфите. n е фиксирано. Някакво обобщение е на [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}[/tex]

[mkmarinov]

Алфите са всичките положителни, а сумата им клони към 0 - т.е. всяко алфа клони към 0?

[pipi langstrump]

Нещо не схващам. Как така безкрайна сума от положителни числа ще клони към нула .Може ли да напишеш по ясно условието? И какво значи n да е дадено, границата не трябва ли да е n--> \infty ?

Границата не е по n. Клони към 0 величината, равна на сумата от алфите. n е фиксирано. Някакво обобщение е на [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}[/tex]

За да клони към нула, трябва да има безкрайно много членове, което е невъзможно, ако n е фиксирано. Остава варианта това да е граница на функция. Но аз не виждам коя е функцията тук.
Поне аз нищо не разбирам от условието на тази "задача". Търси се някаква граница, само че не е ясно на какво е тая граница.

[Mechkov]

Алфите са всичките положителни, а сумата им клони към 0 - т.е. всяко алфа клони към 0?

Да.

За да клони към нула, трябва да има безкрайно много членове, което е невъзможно, ако n е фиксирано.

Я пак?

Остава варианта това да е граница на функция. Но аз не виждам коя е функцията тук.
Поне аз нищо не разбирам от условието на тази "задача". Търси се някаква граница, само че не е ясно на какво е тая граница.

Функцията ти е на n променливи - ъглите.

[vel.angelov]

[tex]2\sqrt{2} ?[/tex]

[int]

При горните условия [tex]\frac{{\Sigma}^n_{i = 1} \sqrt{1 - cos {\alpha}_i}} {{\Sigma}^n_{i = 1} {\alpha}_i}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{{\Sigma}^n_{i = 1} \sin{\frac{\alpha_i}{2}}}{{\Sigma}^n_{i = 1} \frac{{\alpha}_i}{2}.[/tex]

От неравенствата

[tex]\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}x\le \sin x\le x[/tex],

валидни за всички [tex]x\in[0,\epsilon][/tex], където [tex]0<\epsilon<\frac{\pi}{2}[/tex] е призволно фиксирано реално число, при [tex]{\Sigma}^n_{i = 1} {\alpha}_i<\epsilon[/tex] имаме
[tex]\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}\le \frac{{\Sigma}^n_{i = 1}\sin{\frac{\alpha_i}{2}}}{{\Sigma}^n_{i = 1} \frac{{\alpha}_i}{2}}\le 1[/tex]
Така виждаме, че при [tex]\epsilon\to 0[/tex] търсената границата е [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex]

[mkmarinov]

int, не разбрах защо от [tex]L \le \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] следва, че [tex]L=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Дробта може да се представи като
[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sum \sin\frac{\alpha_i}{2}}{\sum \frac{\alpha_i}{2}}[/tex]
Нека L е границата на тази дроб.
[tex]\frac{\alpha_i}{2} \ge \sin \frac{\alpha_i}{2}[/tex] => [tex]\frac{\sum \sin\frac{\alpha_i}{2}}{\sum \frac{\alpha_i}{2}} \le 1 => L \le \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] (1).

[tex]\sum tg \frac{\alpha_i}{2} \ge \sum \frac{\alpha_i}{2}[/tex]
Т.е. [tex]L \ge \lim_{\sum \alpha_i \to 0} \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sum \sin\frac{\alpha_i}{2}}{\sum \frac{\sin\frac{\alpha_i}{2}}{\cos\frac{\alpha_i}{2}}}[/tex]. Аналогично на горният случай (но с малко повече разписване) се доказва, че [tex]L \ge \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] (2).

От полицай (1) и полицай (2) следва, че [tex]L=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].

[int]

int, не разбрах защо от [tex]L \le \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] следва, че [tex]L=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Ами аз не съм твърдял подобно нещо. Аз написах, че имаме [tex]\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}\le f(\alpha_1,\ldots\alpha_n)\le 1[/tex]

Лявото нещо клони към 1 при [tex]\epsilon\to 0[/tex], така че дробта е заключена между 1 отгоре и нещо което клони към 1 отдолу. От полицаите следва директно. Просто границата трябва да се умножи по √2/2 заради първото равенство, което се получава със елементарно преобразувание на изходния израз.

[elsitooo90]

Моля ви ако можете да помогнете с тези задачи: Da se reshi funkciqta lim x->a (sinx-sina/x-a) ; Namerete parvata proizvodna y=arc sin x /1-x (2) -na kvadrat

[ganka simeonova]

Направо полудявам от такива задачи на седмицата. Имаш 1 час да я пуснеш в правилния раздел!