Да се намерят всички числа х, у, m, n и t, за които

[admin]

Да се намерят всички числа х,у,m,n и t,за които:
[tex]x!+y!=5^m7^nt![/tex]
като имате предвид условието х>t,y>t

[mkmarinov]

m,n cа в [tex]N[/tex], или [tex]N_0[/tex] ?

EDIT:
Май няма голяма нужда да отговаряш.
Нека t е нечетно. Нека [tex]\alpha[/tex] е степента, с която двойката участва в разлагането на t!. От x>t, y>t => двойката ще участва поне на степен [tex]\alpha+1[/tex] в х! и у!, при което [tex]2^{\alpha+1}[/tex] ще дели лявата страна, но не и дясната - противоречие. Тогава t е четно. С използване на същите разсъждения като горните става ясно, че не е възможно и х, и у да са по-големи от или равни на t+2. Освен това не са равни и двете на t+1(пак заради делимост на 2). БОО x=t+1.
[tex]t!(t+1)+y!=5^m7^nt![/tex]
[tex]y!=t!(5^m7^n-(t+1))[/tex]
Т.к. y>t, то [tex]5^m7^n-(t+1)=(t+1)(t+2)...(t+k)[/tex] за някое [tex]k \ge 1[/tex].
[tex]5^m7^n=(t+1)[(t+2)...(t+k)+1][/tex], откъдето [tex]t \equiv -1 (mod 5)[/tex] или [tex]t \equiv -1(mod 7)[/tex]

... и отидох да си взема дипломата =) .

[martin123456]

БОО [tex]x\le y[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x!}{t!}(1+\frac{y!}{x!})=5^m7^n[/tex]. Значи и двата множителя са с вид [tex]5^{a}7^{b}[/tex].
Допускаме, че [tex]x\ge t+2[/tex]. [tex]\Rightarrow \frac{x!}{t!}=x(x+1)\ldots[/tex]. Значи [tex]\frac{x!}{y!}[/tex] е четно, докато [tex]5^{a}7^b[/tex] нечетно. Противоречие. Значи [tex]x=t+1[/tex].
Заместваме в уравнението [tex](t+1)(1+\frac{y!}{x!})=5^m7^n[/tex]. (1)
Ако [tex]x=y[/tex] лявата страна става четна, а дясната е нечетна. Противоречие. Значи [tex]y \ge x+1[/tex]. Ако [tex]y \ge x+5[/tex] полагаме [tex]y=x+5+z[/tex], [tex]z \ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{y!}{x!}=\frac{(x+5+z)!}{x!}=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)\ldots[/tex], т.е. изразът се дели на 5 и като добавим 1 получаваме че изразът в скобите на (1) не се дели на 5. Аналогично е ако [tex]y \ge x+7[/tex].
1. [tex]m=0[/tex]
Тогава и двата множителя са степени на 7. Ако [tex]y \ge x+7[/tex] множителят в скоби не се дели на 7 и значи е 1, което е невъзможно. Оттук следва, че [tex]y \le x+6[/tex].
2. [tex]n=0[/tex]
Тогава и двата множителя са степени на 5. Аналогично отгоре имаме [tex]y \le x+4[/tex].
3. [tex]m \ne 0[/tex] и [tex]n\ne 0[/tex]
3.1. Да допуснем, че [tex]y \ge x+5[/tex]. Тогава [tex]t+1=5^m7^{a}[/tex]. Уравнението става [tex]1+\frac{y!}{x!}=7^{n-a}[/tex]. Вижда се, че [tex]n \ne a[/tex]. Значи [tex]y \le x+6[/tex] и [tex]y\ge x+5[/tex].
3.2. Сега [tex]y\le x+4[/tex]. Значи [tex]y \in \{x+1,x+2,x+3,x+4\}[/tex].

Във всички случаи получаваме ограничението [tex]y \in \{x+1,x+2,x+3,x+4,x+5,x+6\}[/tex].
1. [tex]y=x+1[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2))=5^m7^n[/tex].
2. [tex]y=x+2[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3))=5^m7^n[/tex].
3. [tex]y=x+3[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4))=5^m7^n[/tex].
4. [tex]y=x+4[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5))=5^m7^n[/tex].
5. [tex]y=x+5[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6))=5^m7^n[/tex].
6. [tex]y=x+6[/tex]. Уравнението става [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6)(t+7))=5^m7^n[/tex].

Ще разгледам само случай 6, другите са аналогични.
1. [tex]m=0[/tex]. Тогава [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6)(t+7))=7^n[/tex]. Ясно, че [tex]n \ne 0[/tex] и изразът в скобите е по -голям от 7. Ако [tex]t \equiv -1 \pmod{7^}[/tex] получаваме, че изразът в скобите е [tex]721 \pmod{7^}[/tex], т.е. не се дели на 49. Т.е. противоречие, понеже е степен на 7. Значи [tex]t=6[/tex]. Лесно се проверява, че това не е решение.
2. [tex]n=0[/tex], [tex]m \ne 0[/tex]. Тогава [tex](t+1)(1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6)(t+7))=5^m[/tex]. Оттук [tex]t \equiv -1 \pmod{5}[/tex], а изразът в скобите не се дели на 5 и е по-голям от 5. Противоречие.
3. [tex]m,n \ne 0[/tex].
3.1. [tex]t \equiv -1 \pmod{5}[/tex]. [tex]\Rightarrow 1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6)(t+7)=7^a[/tex] и [tex]t+1=5^m7^{n-a}[/tex]. Ако [tex]t \equiv 1 \pmod{7^2} \Rightarrow a\le 1[/tex]. Противоречие. Значи [tex]n=a+1[/tex] или [tex]n=a[/tex]. В първи случай [tex]t+7 \equiv 0 \pmod{7}[/tex] и значи [tex]a=0[/tex] противоречие. Значи [tex]1+(t+2)(t+3)(t+4)(t+5)(t+6)(t+7)=7^n[/tex] и [tex]t+1=5^m[/tex]. Имаме че левият израз е степен на 7. Значи [tex]t \equiv -1 \pmod{7}[/tex]. Значи [tex]5^m \equiv 0 \pmod{7}[/tex]. Невъзможно.
3.2. [tex]t \equiv -1 \pmod{7}[/tex] и [tex]t \not \equiv -1 \pmod{5}[/tex]. Изразът в скобите на 6. то уравнение не се дели на 5. Значи [tex]m=0[/tex]. Противоречие.