Кръгове

[grav]

Ето една задача, за тези които не са я виждали вече. Нека са дадени [tex]n[/tex] кръга в равнината. Означаваме с [tex]a_{ij}[/tex]лицето на сечението на [tex]i[/tex]-тия и [tex]j[/tex]-тия кръг. Да се докаже, че детерминантат на матрицата [tex](a_{ij})[/tex] е положителна.

[int]

Ако кръг i съвпада с кръг j няма да е верно, обаче.

[mkmarinov]

Индукция по броя на кръговете в комбинация с експанзия на Лаплас? Просто предполагам .

[Троян]

Достатъчно е да се покаже, че [tex]\det (a_{ij})_{i,j=1}^{n}\neq 0[/tex] за матрица [tex](a_{ij})_{i,j=1}^{n}[/tex] удовлетворяваща: [tex]a_{ii}>0[/tex] и [tex]0\leq a_{ij}\leq \min \{a_{ii},a_{jj}\}[/tex], като последното неравенство е строго в случай, че [tex]a_{ii}=a_{jj}, \ i\neq j[/tex].

[grav]

@int: Да, разбира се, кръговете са различни.
@mkmarinov: Не знам, може да може така, но на пръв поглед не изглежда лесно. В развитието знаците се редуват и кой знае.
@Троян: Да, това е достатъчно, но това е очевидно. Върпоса е дали помага.

[grav]

Разглеждаме пространството от функции в равнината със сумируем квадрат. И подпространството породено от характеристичните функции на дадените кръгове със стандартното скаларно произведение. Тогава търсената детерминанта е детерминантата на Грам, която има търсеното свойство.