Рационални решение

[grav]

Да се докаже, че рационалните решения на уравнението [tex]y^2=x^3-x[/tex] са само двойките [tex](0,0),\;(\pm1,0)[/tex].

[admin]

Продължение от автора:
Ето едно приложение на задачата, теоремата на Ферма за [tex]n=4[/tex], което разбира се може да се докаже и без задачата.

Ако имаме решение на
[tex]x^4+y^4=z^4[/tex]
в цели числа. Тогава, записваме го като

[tex]\left(\frac{x^2z}{y^3}\right)^2=\left(\frac{z^2}{y^2}\right)^3-\left(\frac{z^2}{y^2}\right).[/tex]

И от задачата следва, че
[tex]\frac{x^2z}{y^3}=0.[/tex]

[ptj]

Нека [tex]y=\frac{p}{q }[/tex]; [tex]x=\frac{r}{s }[/tex] като [tex](p;q)=1[/tex] , [tex](r;s)=1[/tex] , [tex](p;r)=1[/tex] и [tex](q;s)=1[/tex] .

[tex]\frac{p^2}{q^2 }=\frac{r}{s }.\frac{r+s}{s } .\frac{r-s}{s }[/tex]

[tex]p^2s^3=q^2r(r+s)(r-s)[/tex] => [tex]s^3/q^2[/tex]=> [tex]s=1[/tex]=>[tex]q=1[/tex]

[tex]p^2=r(r+1)(r-1)[/tex]

Тъй като 2 не е точен квадрат (разликата на [tex](r+1)[/tex] и [tex](r-1)[/tex]), то

или всяко едно от числата [tex]r,(r+1),(r-1)[/tex] или едното от тях е [tex]0[/tex].

Първия случай е невъзможен (само между 0 и 1 разликата е 1).

Т.е. единственото решение е [tex]y=0[/tex] и [tex]x(x-1)(x+1)=0[/tex].

[ptj]

...
Тъй като 2 не е точен квадрат (разликата на [tex](r+1)[/tex] и [tex](r-1)[/tex]), то

или всяко едно от числата [tex]r,(r+1),(r-1)[/tex] е точен квадрат или едното от тях е [tex]0[/tex].

Първия случай е невъзможен (само между 0 и 1 разликата е 1).

Т.е. единственото решение е [tex]y=0[/tex] и [tex]x(x-1)(x+1)=0[/tex].

Пропуснал бях записаното с червен цвят.

[drago]

...
Тъй като 2 не е точен квадрат (разликата на [tex](r+1)[/tex] и [tex](r-1)[/tex]), то
или всяко едно от числата [tex]r,(r+1),(r-1)[/tex] е точен квадрат или едното от тях е [tex]0[/tex].

Това може ли малко по-подробно?!

[ptj]

Случая [tex](r-1)r(r+1)\ne 0[/tex]:
Ако НОД[tex](r-1;r+1)=2[/tex], то едното от числата се дава остатък нула при деление на 4, а другото 2, т.е. прозведението [tex](r-1)(r+1)[/tex] не е точен квадрат . Тогава остава само случая когато 2 дели [tex]r[/tex], тогава всеки 2 от числата [tex](r-1),r,(r+1)[/tex] са взаино прости помежду си.

[drago]

...Ако НОД[tex](r-1;r+1)=2[/tex], то едното от числата се дава остатък нула при деление на 4, а другото 2, т.е. прозведението [tex](r-1)(r+1)[/tex] не е точен квадрат...

Това подчертаното пак не го вдянах!?

[ptj]

Може ли число, делящо се на 2, но не на 4, да е точен квадрат?

[grav]

Ако най-големия им общ делител е 2, тогава и двете се делят на 2, следователно произведението им се дели на 4.

Първия ред също изисква обяснение. Защо числителите са взаимно прости?

[ptj]

Взаимно прости са, защото иначе може да осъществим "спускане", т.е. взели сме фундаментално решение.

НОД[tex](r;r^2-1)=1[/tex], тогава [tex]r=a^2[/tex] и [tex]r^2-1=b^2[/tex], където НОД[tex](a;b)=1[/tex] .

[tex](r-b)(r+b)=1[/tex], делители на [tex]1[/tex]само [tex]\pm 1[/tex].

Решения са [tex]r+b=r-b[/tex] или [tex](r+b)=-(r-b)[/tex], но същественото е че и при двете [tex]rb=0[/tex]=> [tex]y=0[/tex]

[drago]

Може ли число, делящо се на 2, но не на 4, да е точен квадрат?

Не може, но не става въпрос за това. Твоето обяснение е , че щом едното се дели на 4, а другото на 2, но не на 4, то не може произведението да е точен квадрат. Това не е вярно- например 8.2 = 4^2 го опровергава.

По принцип това, което се опитваш да докажеш е вярно, но трябва мъничко повече обяснения.
Затова трудно ти се проследява понякога решението.

Взаимно прости са, защото иначе може да осъществим "спускане", т.е. взели сме фундаментално решение.

Допусни, че p и r имат общ делител и да го видим "безкрайното спускане" !

[ptj]

Нека [tex]y=\frac{p}{q }[/tex]; [tex]x=\frac{r}{s }[/tex] като , [tex](p;q)=1[/tex] и [tex](r;s)=1[/tex] .

[tex]\frac{p^2}{q^2 }=\frac{r}{s }.\frac{r+s}{s } .\frac{r-s}{s }[/tex]

[tex]p^2s^3=q^2r(r+s)(r-s)[/tex]

Oт [tex](p;q)=1[/tex] и [tex](r;s)=1[/tex] следва, че [tex]s^3=q^2[/tex] и [tex]p^2=r(r+1)(r-1)[/tex]


[tex](r;r^2-1)=1[/tex], тогава [tex]r=a^2[/tex] и [tex]r^2-1=b^2[/tex], където [tex](a;b)=1[/tex] .

[tex](r-b)(r+b)=1[/tex], делители на [tex]1[/tex]само [tex]\pm 1[/tex].

Решения са [tex]r+b=r-b[/tex] или [tex](r+b)=-(r-b)[/tex], но същественото е че и при двете [tex]rb=0[/tex] => [tex]y=0[/tex]

П.П. Още нещо?

[inveidar]

Нека [tex]y=\frac{p}{q }[/tex]; [tex]x=\frac{r}{s }[/tex] като [tex](p;q)=1[/tex] , [tex](r;s)=1[/tex] , [tex](p;r)=1[/tex] и [tex](q;s)=1[/tex] .

[tex]\frac{p^2}{q^2 }=\frac{r}{s }.\frac{r+s}{s } .\frac{r-s}{s }[/tex]

[tex]p^2s^3=q^2r(r+s)(r-s)[/tex] => [tex]s^3/q^2[/tex]=> [tex]s=1[/tex]=>[tex]q=1[/tex]

[tex]p^2=r(r+1)(r-1)[/tex]

От тук следва, че или и трите са точни квадрати, или [tex]r+1=2k_{1},r-1=2k_{2}[/tex]. Да разгледаме втория случай. Лесно получаваме [tex]k_{1}-k_{2}=1[/tex] и [tex]r=k_{1}+k_{2}[/tex] и следователно [tex]r=2k_{1}-1[/tex].
Тогава [tex]p^2=(2k_{1}-1)(2k_{1})(2k_{1}-2)=4.(2k_{1}-1)k_{1}(k_{1}-1)[/tex]. Лесно се доказва, че множителите, различни от 4, са взаимно прости, т.е и трите трябва да са точни квадрати.
Мисля, че това поправя решението.

[grav]

А, защо знаменателите са взаимно прости?

[ptj]

Да, не е задължително да са взаимно прости.Засега стигнах до:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Нека [tex]y=\frac{p}{q }[/tex]; [tex]x=\frac{r}{s }[/tex] като , [tex](p;q)=1[/tex] и [tex](r;s)=1[/tex] .

[tex]\frac{p^2}{q^2 }=\frac{r}{s }.\frac{r+s}{s } .\frac{r-s}{s }[/tex]

[tex]p^2s^3=q^2r(r+s)(r-s)[/tex]

Oт [tex](p;q)=1[/tex] и [tex](r;s)=1[/tex] следва, че [tex]s^3=q^2[/tex] и [tex]p^2=r(r+s)(r-s)[/tex]

[tex](r;r^2-s^2)=1[/tex], тогава [tex]r=a^2[/tex] и [tex]r^2-s^2=b^2[/tex], където [tex](a;b)=1[/tex] .

[tex]a^4=s^2+b^2[/tex]

Ще опитам по-късно с формулите за Питагорови 3-ки.

[grav]

ptj, твърде много редакции правиш, включително и на стари постове към които има коментари, това прави темата трудна за следене.

[grav]

Хубаво, в задачата се търсят рационалните точки на дадената елиптична крива. Ако човек знае някои неща за елиптични криви задачата се решава лесно. Решението може да се запише без да се споменават елиптични криви, така че да се разбираемо за ученици, но тогава става относително дълго и използващо трикове, за които не се вижда от къде идват. Понеже има кратко приложение към Ферма, ми беше интересно дали може някой да намери ученическо решение без да чийтва и да използва ел. криви.

[ptj]

Уравнението, до което съм стигнал [tex]a^4=s^2+b^2[/tex] е решимо с елементарни средства.