Диофантово уравнение

[Троян]

Задача. Нека [tex]n[/tex] е четно естествено число. Да се докаже, че уравнението [tex]x^n+y^n=z^n+t^n[/tex] има решение в различни естествени числа [tex]x<z<t<y[/tex].

[alexander_ivanov]

Не всички ест. числа могат да се представят по 2 начина като сбор на квадрати.
А иначе ако ти е док. за някои ест. числа представяш [tex]n=2k[/tex], полагаш [tex]x^k=x_1,y^k=y_1,z^k=z_1,t^k=t_1[/tex] и се връщаш на изходното положение: [tex]x_1^2+y_1^2=z_1^2+t_1^2[/tex] и отново огр. множеството от числа със свойството. А ако трябва да се намери множеството и как се огр. ми кажи да мисля още....

[grav]

При [tex]n>4[/tex], това не е ли все още недоказано?

[drago]

Мисля, че по-скоро хипотезата(недоказана) е, че при n > 4 това уравнение няма решение. При n=2,3,4 има решения.
Пак почнаха да се пишат глупости в този раздел!

[strangerforever]

Не всички ест. числа могат да се представят по 2 начина като сбор на квадрати.
А иначе ако ти е док. за някои ест. числа представяш [tex]n=2k[/tex], полагаш [tex]x^k=x_1,y^k=y_1,z^k=z_1,t^k=t_1[/tex] и се връщаш на изходното положение: [tex]x_1^2+y_1^2=z_1^2+t_1^2[/tex] и отново огр. множеството от числа със свойството. А ако трябва да се намери множеството и как се огр. ми кажи да мисля още....

Това не е вярно! Единственият извод, който можеш да си направиш, е че [tex]x_1^2+y_1^2=z_1^2+t_1^2[/tex] има естествени решения, но не можеш да си сигурен, че след връщане в полагането, числата отново ще са естествени, а именно - x, y, z, t.

[Троян]

Ако [tex]6|n[/tex] няма решение в различни естествени числа. За другите четни степени нещата стоят по-сложно. Ще е хубаво да споделите идеи

[drago]

Ако [tex]6|n[/tex] няма решение в различни естествени числа. За другите четни степени нещата стоят по-сложно. Ще е хубаво да споделите идеи

Не мога да разбера това смешки ли са или се гъбаркаш с нас. Това е нерешен проблем. Ако имаш друга информация дай някакъв линк да я видим!

[Троян]

Идеята е да се работи по задачата и да се обсъждат идеи, без притеснения относно това, че никъде в нета не откривате решение наготово. Още повече ще е полезно да видим къде е формулирано като хипотеза твърдението на задачата.

[grav]

Идеята е да се работи по задачата и да се обсъждат идеи, без притеснения относно това, че никъде в нета не откривате решение наготово. Още повече ще е полезно да видим къде е формулирано като хипотеза твърдението на задачата.

Хубаво, но при условие, че има коментари и ти ги пренебрегваш е малко странно и не приканва към търсенето на идеи. Защо не казжеш какво знаеш по въпроса и защо смяташ, че е достъпен. Както казах, в противен случай изглежда несериозно.

[ptj]

Доколкото си спомням цитираното от теб е известно като "Хипотеза на Мордел" и гласи, че въпросното уравнение може да има краен брой фундаментални решения.

[grav]

Доколкото си спомням цитираното от теб е известно като "Хипотеза на Мордел" и гласи, че въпросното уравнение може да има краен брой фундаментални решения.

Спомняш си грешно, хипотезата на Мордел (теорема на Фалтингс) е нещо различно.

[ptj]

[tex]2682440^4+13565639^4+18796760^4=20615673^4[/tex]

[drago]

Lander-Parkin-Selfridge Conjecture (LPS)

"The equation [tex]x_1^k + x_2^k +\cdots + x_m^k = y_1^k + y_2^k +\cdots+ y_n^k[/tex] has a non-trivial solution in the integers for k > 3 if and only if m+n ≥ k.”

http://sites.google.com/site/tpiezas/019

В нашия случай m=n=2. Според хипотезата трябва да има нетривиални решения само когато [tex]k \leq 4[/tex].

[Троян]

Ето няколко теми за размисъл, които са възможни с елементарни методи: намиране на всички решения в рационални числа
на уравнението което се получва при [tex]n=3[/tex], като следствие от общото решение се показва, че ако [tex]6|n[/tex] то уравнението няма решение в различни естествени числа. Също така може да се разгледа случая [tex]n=2p[/tex], за някое нeчетно просто [tex]p>3[/tex].Отделно трябва да се разгледа случая когато показателя е степен на 2. Целта е да се види какво може да се извлече с елементарни средства.

Имаше предложение да се разглежда като уравнение на комплексна хиперповърхнина, да се сметне геометричния род и въз основа на това да се правят заключения за нетривиалните рационалните точки които лежат в/у нея. Това не е надежден метод, тъй като няма как ефективно да се разграничат симетриите x=z , y=t, от случая x<z<t<y.
Друга възможност е да се търси решение на уравнението в [tex]\mathbb{Z}[i][/tex] - цели Гаусови числа. Тогава уравнението се разпада на 2 уравнения в цели числа.

[grav]

Ако е вярно твърдението, че няма решения в различни числа, като частен случай имаме, че няма решения в различни числа едно от които е нула т.е. теоремата на Ферма. Така твърдението е по-силно от теоремата на Ферма, ако тя не се използва не виждам колко елементарно доказателство очакваш, щом ще влече Ферма!

[Троян]

Ферма няма нищо общо, играта тук е в съвсем друго направление. Горе съм пропуснал да спомена, че смяната a=x+y, b=x-y, c=z-t, d=z+t, може да свърши работа за малки значения на n. Предвид съдбата на темата "комплексни повърхнини" ще си останем на ниво елементаризми.

[grav]

Просто казвах, че това е по-силно твърдение от Ферма. Защо очакваш, че е достъпно още не си казал.

Хубаво, щом не искаш елементаризми, предложи подход и до къде си стигнал и ще се включим.