Точки в равнината

[ptj]

а.)Докажете, че към всяко крайно множество от точки в равнината, имащи свойството всеки 3 от тях да образуват неизроден тъпоъгълен триъгълник, винаги може да се добави още една.
б.) Вярно ли е твърдението и за безкрайно множество?

[martosss]

За мен доказателството ще е следното:
a)
Взимаме 2 точки, които изпълняват условието, [tex]X_1[/tex] и [tex]X_2[/tex]. Построяваме прави [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], които съдържат съответно [tex]X_1[/tex] и [tex]X_2[/tex] и са перпендикулярни на [tex]X_1X_2[/tex], както и окръжност [tex]k[/tex] с диаметър [tex]X_1X_2[/tex].
Сега всяка друга точка от равнината, която изпълнява условието на задачата, има 3 варианта за позиция:
1) вътрешна е за окръжността [tex]k[/tex]( но не върху [tex]X_1X_2[/tex];
2) съдържа се в полуравнината, ограничена от [tex]a[/tex], несъдържаща [tex]X_2[/tex](но не лежи на [tex]a[/tex]);
3) съдържа се в полуравнината, ограничена от [tex]b[/tex], несъдържаща [tex]X_1[/tex](но не лежи на [tex]b[/tex]);

Тоест всяка друга т. [tex]X_i,\: i>2[/tex], изпълняваща условието, не може да лежи между двете прави [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], освен ако не е строго вътрешна за [tex]k[/tex]
И така с добавянето на всяка следваща точка [tex]X_i[/tex] ще добавяме още [tex]i-1[/tex] области, в които не може да има други точки [tex]X_i[/tex].
Но тъй като равнината е безкрайна, а нашите точки са краен брой, то ние не можем да покрием равнината с тези "ленти"(под "лента" разбирам пространството между две такива прави, където не може да има точки).

Разбира се този факт може и да се променя при безкраен брой точки, когато вече равнината може да бъде покрита.
Но за момента не мога да си представя безкрайна конструкция, която да запълни цялата равнина и да не остави никакви дупки, като същевременно изпълнява условието на задачата.
Мисля си само за поредица от много "ленти" една до друга, като същевременно има и хоризонтални ленти, които "унищожават" ефективно окръжностите на другите ленти... но тогава пък ще ни трябват други ленти, които да унищожат първоначалните и.... се оплитам

[ptj]

Приемам, макар че обосновката защо краен брой ленти не могат да покрият равнината не е добра. Като цяло можеше и без окръжностите.

В общия случай помисли за конструкция.

[martosss]

Добре, ето опит за доказателство:
Имаме, че ако лентите не са успоредни, то някъде в далечината ще има област, която не е покрита, тъй като колкото и малък да е ъгълът между лентите, то в безкрайността те ще се отдалечат една от друга.
Тогава ни трябва множество от успоредни ленти(които са успоредни да кажем на оста у), които да покрият равнината.
Но дори да допуснем, че лентите се допират - ||||||| - то те ще покрият само една от двете оси на равнината. За да покрием другата ос, ще трябва да наредим по нея безкрайно много ленти, което противоречи на нашето ограничение за краен брой.

Но за общия случай... Сега като го поразписах се получи нещо като общ случай... правим успоредник АВСД примерно, на който имаме 6 ленти(всяка отсечка, свързваща 2 точки, тоест 4-те страни и 2-та диагонала).
Интересуват ни успоредните страни, които представляват успоредни ленти. Ако направим <ABD мнооого малко над 90° ще получим почти допиращи се ленти. И сега ако наслагаме много такива успоредници, така че една от двойките им страни да са успоредни на останалите, то те в някой момент ще покрият цялата равнина.
Сега остава да се помисли дали ще се покрият и окръжностите.

[ptj]

Конструкция доказваща невъзможността за безкрайния случай (с координатна система).

Точките ги разполагаме върху две успоредни прави :
- едните ще са всички от вида [tex](4k;0)[/tex] : [tex]k\in Z[/tex]
- другите ще са всички от вида [tex](4k+2; 1)[/tex]

[martosss]

Не разбирам какво имаш предвид. Според условието "Всеки 3 точки образуват неизроден тъп. триъг.", тоест на всяка права могат да стоят най-много 2 точки.
Тоест на тези две прави може да има по 2 точки, а останалите?

[ptj]

Да прав си, имах предвид на нещо подобно на дъги с безкрайно голям радиус. Мисля, че следната промяна на ординатите ще свърши работа:

Конструкция доказваща невъзможността за безкрайния случай (с координатна система).

Точките са 2 вида:
- едните ще са всички от вида [tex]\left(8k;(-1)^k\sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{|k|} }\right)[/tex] : [tex]k\in Z[/tex]
- другите ще са всички от вида [tex]\left(8k+4; 2+(-1)^k\sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{|k|} } \right)[/tex]

П.П. Сега би трябвало да няма повече от 2 на една права.